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Somatório e Produtório
2015-12-10T12:55:16Z
<p>Francleidepsimao: </p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética é dada por :<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
Pela propriedade da progressão aritmética<br />
<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}</math><br />
<br />
<br />
usando a função de calculo da média:<br />
<br />
<math>\frac{(n-1)n}{2(n-1)} = \frac{n}{2} = 16,1</math><br />
<br />
<math>n = 32,2</math><br />
<br />
Substituindo <math>n</math> na equação:<br />
<br />
<math>n-1 = 31,2</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 517,92</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 534,52</math><br />
<br />
Portanto o termo omitido foi:<br />
<br />
<math>534,52 - 517,92 = 16,6</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> .<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \sum_{k=1}^{n} kk^2 = \sum_{k=1}^{n} k \sum_{k=1}^{n} k^2</math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<br />
<pre>Incompleto<br />
</pre><br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math><br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Separando o somatório:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math>/<br />
<br />
teremos que descobrir o<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math> <br />
<br />
então<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math><br />
<br />
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math><br />
<br />
<pre>Incompleto<br />
</pre><br />
<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}\simeq1,7</math><br />
<br />
inserindo os valores na equação:<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}\simeq1,6 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}\simeq 1,7 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,8 </math><br />
<br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /><br />
----<br />
==Autores==<br />
<pre>Jaimerson Araújo<br />
<br />
Francleide Simão<br />
</pre></div>
Francleidepsimao
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Somatório e Produtório
2015-12-10T12:01:39Z
<p>Francleidepsimao: </p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética é dada por :<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
Pela propriedade da progressão aritmética<br />
<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}</math><br />
<br />
<br />
usando a função de calculo da média:<br />
<br />
<math>\frac{(n-1)n}{2(n-1)} = \frac{n}{2} = 16,1</math><br />
<br />
<math>n = 32,2</math><br />
<br />
Substituindo <math>n</math> na equação:<br />
<br />
<math>n-1 = 31,2</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 517,92</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 534,52</math><br />
<br />
Portanto o termo omitido foi:<br />
<br />
<math>534,52 - 517,92 = 16,6</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> .<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \sum_{k=1}^{n} kk^2 = \sum_{k=1}^{n} k \sum_{k=1}^{n} k^2</math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac {n(n-1)}{2}</math><br />
<pre>Incompleto<br />
</pre><br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math><br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Separando o somatório:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}</math> <br />
<br />
e teremos que descobrir o<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math> <br />
<br />
então<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math><br />
<br />
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math><br />
<br />
<pre>Incompleto<br />
</pre><br />
<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}\simeq1,7</math><br />
<br />
inserindo os valores na equação:<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}\simeq1,6 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}\simeq 1,7 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,8 </math><br />
<br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /><br />
----<br />
==Autores==<br />
<pre>Jaimerson Araújo<br />
<br />
Francleide Simão<br />
</pre></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=498
Somatório e Produtório
2015-12-10T06:18:24Z
<p>Francleidepsimao: </p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética é dada por :<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
média aritmética de <math>n-1 \text{: }\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1} k = 16,1</math><br />
<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}</math><br />
<br />
<br />
usando a função de calculo da média:<br />
<br />
<math>\frac{(n-1)n}{2(n-1)} = \frac{n}{2} = 16,1</math><br />
<br />
<math>n = 32,2</math><br />
<br />
Substituindo <math>n</math> na equação:<br />
<br />
<math>n-1 = 31,2</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 517,92</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 534,52</math><br />
<br />
Portanto o termo omitido foi:<br />
<br />
<math>534,52 - 517,92 = 16,6</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> .<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \sum_{k=1}^{n} kk^2 = \sum_{k=1}^{n} k \sum_{k=1}^{n} k^2</math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac {n(n-1)}{2}</math><br />
<pre>Incompleto<br />
</pre><br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math><br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Separando o somatório:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}</math> <br />
<br />
e teremos que descobrir o<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math> <br />
<br />
então<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math><br />
<br />
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math><br />
<br />
<pre>Incompleto<br />
</pre><br />
<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}=1,732050807568877</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /><br />
----<br />
==Autores==<br />
<pre>Jaimerson Araújo<br />
<br />
Francleide Simão<br />
</pre></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=497
Somatório e Produtório
2015-12-10T06:17:12Z
<p>Francleidepsimao: </p>
<hr />
<div>O somatório representa somas com <math>n</math> termos, para sua representação utiliza-se o símbolo sigma <math>\sum_{i=0}^{n} i </math> onde i indica o termo inicial da soma e n o termo final.<br />
<br />
== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética é dada por :<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
média aritmética de <math>n-1 \text{: }\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1} k = 16,1</math><br />
<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}</math><br />
<br />
<br />
usando a função de calculo da média:<br />
<br />
<math>\frac{(n-1)n}{2(n-1)} = \frac{n}{2} = 16,1</math><br />
<br />
<math>n = 32,2</math><br />
<br />
Substituindo <math>n</math> na equação:<br />
<br />
<math>n-1 = 31,2</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 517,92</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 534,52</math><br />
<br />
Portanto o termo omitido foi:<br />
<br />
<math>534,52 - 517,92 = 16,6</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> .<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \sum_{k=1}^{n} kk^2 = \sum_{k=1}^{n} k \sum_{k=1}^{n} k^2</math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac {n(n-1)}{2}</math><br />
<pre>Incompleto<br />
</pre><br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math><br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Separando o somatório:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}</math> <br />
<br />
e teremos que descobrir o<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math> <br />
<br />
então<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math><br />
<br />
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math><br />
<br />
<pre>Incompleto<br />
</pre><br />
<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}=1,732050807568877</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /><br />
----<br />
==Autores==<br />
<pre>Jaimerson Araújo<br />
<br />
Francleide Simão<br />
</pre></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=496
Somatório e Produtório
2015-12-10T06:16:23Z
<p>Francleidepsimao: </p>
<hr />
<div>O somatório representa somas com <math>n</math> termos, para sua representação utiliza-se o símbolo sigma <math>\sum_{i=0}^{n} i </math> onde i representa o termo inicial da soma e n o termo final da soma. <br />
Ele geralmente é utilizado na resolução de problemas de recorrência.<br />
<br />
<br />
== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética é dada por :<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
média aritmética de <math>n-1 \text{: }\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1} k = 16,1</math><br />
<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}</math><br />
<br />
<br />
usando a função de calculo da média:<br />
<br />
<math>\frac{(n-1)n}{2(n-1)} = \frac{n}{2} = 16,1</math><br />
<br />
<math>n = 32,2</math><br />
<br />
Substituindo <math>n</math> na equação:<br />
<br />
<math>n-1 = 31,2</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 517,92</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 534,52</math><br />
<br />
Portanto o termo omitido foi:<br />
<br />
<math>534,52 - 517,92 = 16,6</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> .<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \sum_{k=1}^{n} kk^2 = \sum_{k=1}^{n} k \sum_{k=1}^{n} k^2</math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac {n(n-1)}{2}</math><br />
<pre>Incompleto<br />
</pre><br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math><br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Separando o somatório:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}</math> <br />
<br />
e teremos que descobrir o<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math> <br />
<br />
então<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math><br />
<br />
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math><br />
<br />
<pre>Incompleto<br />
</pre><br />
<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}=1,732050807568877</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /><br />
----<br />
==Autores==<br />
<pre>Jaimerson Araújo<br />
<br />
Francleide Simão<br />
</pre></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=495
Somatório e Produtório
2015-12-10T06:15:23Z
<p>Francleidepsimao: </p>
<hr />
<div>O somatório representa somas com <math>n</math> termos, para sua representação utiliza-se o símbolo sigma <math>\sum_{n}{i=0} I </math> onde i representa o termo inicial da soma e n o termo final da soma. <br />
Ele geralmente é utilizado na resolução de problemas de recorrência.<br />
<br />
<br />
== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética é dada por :<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
média aritmética de <math>n-1 \text{: }\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1} k = 16,1</math><br />
<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}</math><br />
<br />
<br />
usando a função de calculo da média:<br />
<br />
<math>\frac{(n-1)n}{2(n-1)} = \frac{n}{2} = 16,1</math><br />
<br />
<math>n = 32,2</math><br />
<br />
Substituindo <math>n</math> na equação:<br />
<br />
<math>n-1 = 31,2</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 517,92</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 534,52</math><br />
<br />
Portanto o termo omitido foi:<br />
<br />
<math>534,52 - 517,92 = 16,6</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> .<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \sum_{k=1}^{n} kk^2 = \sum_{k=1}^{n} k \sum_{k=1}^{n} k^2</math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac {n(n-1)}{2}</math><br />
<pre>Incompleto<br />
</pre><br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math><br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Separando o somatório:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}</math> <br />
<br />
e teremos que descobrir o<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math> <br />
<br />
então<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math><br />
<br />
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math><br />
<br />
<pre>Incompleto<br />
</pre><br />
<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}=1,732050807568877</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /><br />
----<br />
==Autores==<br />
<pre>Jaimerson Araújo<br />
<br />
Francleide Simão<br />
</pre></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=494
Somatório e Produtório
2015-12-10T05:52:08Z
<p>Francleidepsimao: /* Autores */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética é dada por :<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
média aritmética de <math>n-1 \text{: }\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1} k = 16,1</math><br />
<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}</math><br />
<br />
<br />
usando a função de calculo da média:<br />
<br />
<math>\frac{(n-1)n}{2(n-1)} = \frac{n}{2} = 16,1</math><br />
<br />
<math>n = 32,2</math><br />
<br />
Substituindo <math>n</math> na equação:<br />
<br />
<math>n-1 = 31,2</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 517,92</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 534,52</math><br />
<br />
Portanto o termo omitido foi:<br />
<br />
<math>534,52 - 517,92 = 16,6</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> .<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \sum_{k=1}^{n} kk^2 = \sum_{k=1}^{n} k \sum_{k=1}^{n} k^2</math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac {n(n-1)}{2}</math><br />
<pre>Incompleto<br />
</pre><br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math><br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Separando o somatório:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}</math> <br />
<br />
e teremos que descobrir o<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math> <br />
<br />
então<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math><br />
<br />
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math><br />
<br />
<pre>Incompleto<br />
</pre><br />
<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}=1,732050807568877</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /><br />
----<br />
==Autores==<br />
<pre>Jaimerson Araújo<br />
<br />
Francleide Simão<br />
</pre></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=493
Somatório e Produtório
2015-12-10T05:51:29Z
<p>Francleidepsimao: /* Resolução */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética é dada por :<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
média aritmética de <math>n-1 \text{: }\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1} k = 16,1</math><br />
<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}</math><br />
<br />
<br />
usando a função de calculo da média:<br />
<br />
<math>\frac{(n-1)n}{2(n-1)} = \frac{n}{2} = 16,1</math><br />
<br />
<math>n = 32,2</math><br />
<br />
Substituindo <math>n</math> na equação:<br />
<br />
<math>n-1 = 31,2</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 517,92</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 534,52</math><br />
<br />
Portanto o termo omitido foi:<br />
<br />
<math>534,52 - 517,92 = 16,6</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> .<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \sum_{k=1}^{n} kk^2 = \sum_{k=1}^{n} k \sum_{k=1}^{n} k^2</math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac {n(n-1)}{2}</math><br />
<pre>Incompleto<br />
</pre><br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math><br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Separando o somatório:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}</math> <br />
<br />
e teremos que descobrir o<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math> <br />
<br />
então<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math><br />
<br />
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math><br />
<br />
<pre>Incompleto<br />
</pre><br />
<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}=1,732050807568877</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /><br />
----<br />
==Autores==<br />
<pre>Jaimerson<br />
<br />
Francleide<br />
</pre></div>
Francleidepsimao
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Somatório e Produtório
2015-12-10T05:50:54Z
<p>Francleidepsimao: /* Resolução */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética é dada por :<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
média aritmética de <math>n-1 \text{: }\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1} k = 16,1</math><br />
<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}</math><br />
<br />
<br />
usando a função de calculo da média:<br />
<br />
<math>\frac{(n-1)n}{2(n-1)} = \frac{n}{2} = 16,1</math><br />
<br />
<math>n = 32,2</math><br />
<br />
Substituindo <math>n</math> na equação:<br />
<br />
<math>n-1 = 31,2</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 517,92</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 534,52</math><br />
<br />
Portanto o termo omitido foi:<br />
<br />
<math>534,52 - 517,92 = 16,6</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> .<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \sum_{k=1}^{n} kk^2 = \sum_{k=1}^{n} k \sum_{k=1}^{n} k^2</math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac {n(n-1)}{2}</math><br />
<pre>Incompleto<br />
</pre><br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math><br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Separando o somatório:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}</math> <br />
<br />
e teremos que descobrir o<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math> <br />
<br />
então<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math><br />
<br />
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math><br />
<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}=1,732050807568877</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /><br />
----<br />
==Autores==<br />
<pre>Jaimerson<br />
<br />
Francleide<br />
</pre></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=491
Somatório e Produtório
2015-12-10T05:50:08Z
<p>Francleidepsimao: /* Exemplo 5 */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética é dada por :<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
média aritmética de <math>n-1 \text{: }\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1} k = 16,1</math><br />
<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}</math><br />
<br />
<br />
usando a função de calculo da média:<br />
<br />
<math>\frac{(n-1)n}{2(n-1)} = \frac{n}{2} = 16,1</math><br />
<br />
<math>n = 32,2</math><br />
<br />
Substituindo <math>n</math> na equação:<br />
<br />
<math>n-1 = 31,2</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 517,92</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 534,52</math><br />
<br />
Portanto o termo omitido foi:<br />
<br />
<math>534,52 - 517,92 = 16,6</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> .<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \sum_{k=1}^{n} kk^2 = \sum_{k=1}^{n} k \sum_{k=1}^{n} k^2</math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac {n(n-1)}{2}</math><br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math><br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Separando o somatório:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}</math> <br />
<br />
e teremos que descobrir o<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math> <br />
<br />
então<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math><br />
<br />
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math><br />
<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}=1,732050807568877</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /><br />
----<br />
==Autores==<br />
<pre>Jaimerson<br />
<br />
Francleide<br />
</pre></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=490
Somatório e Produtório
2015-12-10T05:47:12Z
<p>Francleidepsimao: </p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética é dada por :<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
média aritmética de <math>n-1 \text{: }\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1} k = 16,1</math><br />
<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}</math><br />
<br />
<br />
usando a função de calculo da média:<br />
<br />
<math>\frac{(n-1)n}{2(n-1)} = \frac{n}{2} = 16,1</math><br />
<br />
<math>n = 32,2</math><br />
<br />
Substituindo <math>n</math> na equação:<br />
<br />
<math>n-1 = 31,2</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 517,92</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 534,52</math><br />
<br />
Portanto o termo omitido foi:<br />
<br />
<math>534,52 - 517,92 = 16,6</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> . Observe o padrão utilizado para resolver as duas questões anteriores e<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \sum_{k=1}^{n} kk^2 = \sum_{k=1}^{n} k \sum_{k=1}^{n} k^2</math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac {n(n-1)}{2}</math><br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math><br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Separando o somatório:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}</math> <br />
<br />
e teremos que descobrir o<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math> <br />
<br />
então<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math><br />
<br />
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math><br />
<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}=1,732050807568877</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /><br />
----<br />
==Autores==<br />
<pre>Jaimerson<br />
<br />
Francleide<br />
</pre></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=489
Somatório e Produtório
2015-12-10T05:20:16Z
<p>Francleidepsimao: /* Exemplo 4 */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética é dada por :<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
média aritmética de <math>n-1 \text{: }\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1} k = 16,1</math><br />
<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}</math><br />
<br />
<br />
usando a função de calculo da média:<br />
<br />
<math>\frac{(n-1)n}{2(n-1)} = \frac{n}{2} = 16,1</math><br />
<br />
<math>n = 32,2</math><br />
<br />
Substituindo <math>n</math> na equação:<br />
<br />
<math>n-1 = 31,2</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 517,92</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 534,52</math><br />
<br />
Portanto o termo omitido foi:<br />
<br />
<math>534,52 - 517,92 = 16,6</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> . Observe o padrão utilizado para resolver as duas questões anteriores e<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \sum_{k=1}^{n} kk^2 = \sum_{k=1}^{n} k \sum_{k=1}^{n} k^2</math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac {n(n-1)}{2}</math><br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math><br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Separando o somatório:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}</math> <br />
<br />
e teremos que descobrir o<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math> <br />
<br />
então<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math><br />
<br />
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math><br />
<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}=1,732050807568877</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=488
Somatório e Produtório
2015-12-10T04:18:49Z
<p>Francleidepsimao: /* Exemplo 5 */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética:<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
média aritmética de <math>n-1 \text{: }\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1} k = 16,1</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> . Observe o padrão utilizado para resolver as duas questões anteriores e<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \sum_{k=1}^{n} kk^2 = \sum_{k=1}^{n} k \sum_{k=1}^{n} k^2</math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac {n(n-1)}{2}</math><br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math><br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Separando o somatório:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}</math> <br />
<br />
e teremos que descobrir o<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math> <br />
<br />
então<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math><br />
<br />
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math><br />
<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}=1,732050807568877</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=487
Somatório e Produtório
2015-12-10T03:41:54Z
<p>Francleidepsimao: /* Exemplo 5 */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética:<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
média aritmética de <math>n-1 \text{: }\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1} k = 16,1</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> . Observe o padrão utilizado para resolver as duas questões anteriores e<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math><br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Separando o somatório:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}</math> <br />
<br />
e teremos que descobrir o<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math> <br />
<br />
então<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math><br />
<br />
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math><br />
<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}=1,732050807568877</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=486
Somatório e Produtório
2015-12-10T03:39:21Z
<p>Francleidepsimao: /* Exemplo 6 */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética:<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
média aritmética de <math>n-1 \text{: }\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1} k = 16,1</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1. Observe o padrão utilizado para resolver as duas questões anteriores e<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math><br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Separando o somatório:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}</math> <br />
<br />
e teremos que descobrir o<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math> <br />
<br />
então<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math><br />
<br />
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math><br />
<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}=1,732050807568877</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=456
Somatório e Produtório
2015-12-10T03:05:47Z
<p>Francleidepsimao: /* Exemplo 6 */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética:<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
média aritmética de <math>n-1 \text{: }\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1} k = 16,1</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1. Observe o padrão utilizado para resolver as duas questões anteriores e<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1.<br />
==== Resolução ====<br />
Separando o somatório:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}</math> <br />
<br />
e teremos que descobrir o<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math> <br />
<br />
então<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math><br />
<br />
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math><br />
<br />
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)!</math><br />
<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}=1,732050807568877</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=454
Somatório e Produtório
2015-12-10T02:57:53Z
<p>Francleidepsimao: /* Exemplo 6 */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética:<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
média aritmética de <math>n-1 \text{: }\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1} k = 16,1</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1. Observe o padrão utilizado para resolver as duas questões anteriores e<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1.<br />
==== Resolução ====<br />
Separando o somatório:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math><br />
<br />
Temos:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}</math><br />
<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}=1,732050807568877</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=449
Somatório e Produtório
2015-12-10T02:33:15Z
<p>Francleidepsimao: /* Exemplo 4 */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética:<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
média aritmética de <math>n-1 \text{: }\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1} k = 16,1</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1. Observe o padrão utilizado para resolver as duas questões anteriores e<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1.<br />
==== Resolução ====<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}=1,732050807568877</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=443
Somatório e Produtório
2015-12-10T02:06:49Z
<p>Francleidepsimao: /* Exemplo 7 */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {1, 2, . . . , n}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética:<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1. Observe o padrão utilizado para resolver as duas questões anteriores e<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1.<br />
==== Resolução ====<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math><br />
<br />
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)<br />
for igual a o termo do meio: <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<math>\sqrt{3}=1,732050807568877</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=442
Somatório e Produtório
2015-12-10T01:37:01Z
<p>Francleidepsimao: /* Resolução */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {1, 2, . . . , n}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética:<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1. Observe o padrão utilizado para resolver as duas questões anteriores e<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1.<br />
==== Resolução ====<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética uma sequencia (a, b e c) pertence a mesma progressão se <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=441
Somatório e Produtório
2015-12-10T01:27:32Z
<p>Francleidepsimao: /* Resolução */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {1, 2, . . . , n}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética:<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1. Observe o padrão utilizado para resolver as duas questões anteriores e<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1.<br />
==== Resolução ====<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética uma sequencia (a, b e c) pertence a mesma progressão se <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
Somatório com <math>\sqrt{k}</math> expandido <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} = \sqrt{1} + \sqrt{2}+...+\sqrt{n}</math><br />
<br />
Assumindo <math>n = 5</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{5} \sqrt{k} = \sqrt{1} + \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}</math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=440
Somatório e Produtório
2015-12-10T01:26:46Z
<p>Francleidepsimao: /* Exemplo 7 */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {1, 2, . . . , n}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética:<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1. Observe o padrão utilizado para resolver as duas questões anteriores e<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1.<br />
==== Resolução ====<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética uma sequencia (a, b e c) pertence a mesma progressão se <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
Somatório com <math>\sqrt{k}</math> expandido <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} = \sqrt{1} + \sqrt{2}+...+\sqrt{n}</math><br />
<br />
Assumindo <math>n = 5</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{5} \sqrt{k} = \sqrt{1} + \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}</math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
em processo de alteração...<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=439
Somatório e Produtório
2015-12-10T01:24:55Z
<p>Francleidepsimao: /* Aplicação das Propriedades */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {1, 2, . . . , n}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética:<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1. Observe o padrão utilizado para resolver as duas questões anteriores e<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1.<br />
==== Resolução ====<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética uma sequencia (a, b e c) pertence a mesma progressão se <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
Somatório com <math>\sqrt{k}</math>:<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} = \sqrt{1} + \sqrt{2}+...+\sqrt{n}</math><br />
<br />
Assumindo <math>n = 5</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{5} \sqrt{k} = \sqrt{1} + \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}</math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math><br />
<br />
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math><br />
<br />
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.<br />
em processo de alteração...<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=438
Somatório e Produtório
2015-12-10T00:55:08Z
<p>Francleidepsimao: /* Aplicação das Propriedades */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {1, 2, . . . , n}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média aritmética:<br />
<br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1. Observe o padrão utilizado para resolver as duas questões anteriores e<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1.<br />
==== Resolução ====<br />
===Exemplo 7===<br />
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}<br />
</math><br />
<br />
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
Pela propriedade da média aritmética uma sequencia (a, b e c) pertence a mesma progressão se <br />
<br />
<math>\frac {a+c}{2}= b </math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
em processo de alteração...<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=437
Somatório e Produtório
2015-12-09T23:41:47Z
<p>Francleidepsimao: /* Resolução */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {1, 2, . . . , n}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média: <br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math><br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1. Observe o padrão utilizado para resolver as duas questões anteriores e<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1.<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
em processo de alteração...<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=436
Somatório e Produtório
2015-12-09T23:35:06Z
<p>Francleidepsimao: /* Aplicação das Propriedades */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {1, 2, . . . , n}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média: <br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n}</math><br />
<br />
<br />
===Exemplo 5===<br />
Encontre uma fórmula fechada<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1. Observe o padrão utilizado para resolver as duas questões anteriores e<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
===Exemplo 6===<br />
Calcule a soma<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math><br />
<br />
onde n ∈ N, com n ≥ 1.<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
em processo de alteração...<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=435
Somatório e Produtório
2015-12-09T23:22:04Z
<p>Francleidepsimao: /* Resolução */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {1, 2, . . . , n}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math><br />
<br />
média: <br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
em processo de alteração...<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=405
Somatório e Produtório
2015-12-09T22:43:26Z
<p>Francleidepsimao: /* Resolução */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {1, 2, . . . , n}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 1+2+...+n-1= \frac{n \cdot (n-1)}{2}</math><br />
<br />
média: <br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n-1)}{2}}{n-1} = 16,1</math><br />
<br />
<math>\frac{n \cdot (n-1)}{2(n-1)} = 16,1</math><br />
<br />
<math>n \cdot \cancel{(n-1)} = 16,1\cdot 2\cancel{(n-1)} </math><br />
<br />
<math>n = 32,2</math><br />
<br />
em processo de alteração...<br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=404
Somatório e Produtório
2015-12-09T22:42:49Z
<p>Francleidepsimao: /* Aplicação das Propriedades */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
=== Exemplo 1 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e,<br />
possivelmente, mudança de índice para deduzir que<br />
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,<br />
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.<br />
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>n</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math><br />
<br />
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math><br />
<br />
=== Exemplo 2 ===<br />
<br />
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
<br />
Para tal, note que<br />
<br />
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math><br />
<br />
<br />
Logo,<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math><br />
<br />
<br />
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula<br />
desejada.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math><br />
<br />
<br />
Pela fórmula da soma telescópica<br />
<br />
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math><br />
<br />
=== Exemplo 3 ===<br />
<br />
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para<br />
calcular<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math><br />
<br />
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas<br />
soluções lhe parece mais fácil?<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math><br />
<br />
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math><br />
<br />
===Exemplo 4===<br />
Suprimindo um dos elementos do conjunto {1, 2, . . . , n}, a média aritmética dos elementos<br />
<br />
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.<br />
<br />
==== Resolução ====<br />
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 1+2+...+n-1= \frac{n \cdot (n-1)}{2}</math><br />
<br />
média: <br />
<math>\frac {\frac{n \cdot (n-1)}{2}}{n-1} = 16,1</math><br />
<br />
<math>\frac{n \cdot (n-1)}{2(n-1)} = 16,1</math><br />
<br />
<math>n \cdot \cancel{(n-1)} = 16,1\cdot 2\cancel{(n-1)} </math><br />
<br />
<math>n = 32,2</math><br />
----<br />
<br />
== Provas de algumas propriedades ==<br />
===Multiplicação por constante===<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.<br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<br />
Colocando <math>C</math> em evidência:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math><br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
=== Mudança de índices ===<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math><br />
<br />
===== Passo base: s = t =====<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
===== Passo indutivo: s < t =====<br />
<br />
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)<br />
<br />
<br />
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.<br />
<br />
<br />
Aplicando a HI:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math><br />
<br />
<br />
Expandindo <math>k-s</math> vezes:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.<br />
<br />
<br />
Portanto:<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<br />
<pre><br />
defmodule FMC do<br />
def somatorio(start \\0, finish, callback)<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do<br />
callback.(start)<br />
end<br />
<br />
def somatorio(start, finish, callback) do<br />
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)<br />
end<br />
<br />
defp _somatorio([], _), do: 0<br />
defp _somatorio([head | tail], callback) do<br />
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)<br />
end<br />
end<br />
</pre><br />
<br />
----<br />
<br />
==Referências==<br />
<references /></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=223
Somatório e Produtório
2015-12-04T16:33:22Z
<p>Francleidepsimao: /* Produtos das somas */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====F#====<br />
<br />
----<br />
==Referências==</div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=222
Somatório e Produtório
2015-12-04T16:33:06Z
<p>Francleidepsimao: /* Soma de produtos */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)*(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)*(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====F#====<br />
<br />
----<br />
==Referências==</div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=221
Somatório e Produtório
2015-12-04T16:29:23Z
<p>Francleidepsimao: add Principais representacoes</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Principais representações ==<br />
====Soma simples====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math><br />
<br />
====Soma de quadrados====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math><br />
<br />
====Quadrado da soma====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math><br />
<br />
====Soma de produtos====<br />
<math>\sum_{i=1}^{n} x_i*y_i = x_1*y_1+x_2*y_2+...+x_n*y_n</math><br />
<br />
====Produtos das somas====<br />
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)*(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)*(y_1+y_2+...+y_n)</math><br />
<br />
----<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====F#====<br />
<br />
----<br />
==Referências==</div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=200
Somatório e Produtório
2015-11-29T23:26:14Z
<p>Francleidepsimao: /* Propriedades de Somatório */</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====F#====</div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=199
Somatório e Produtório
2015-11-29T23:25:15Z
<p>Francleidepsimao: </p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math><br />
<br />
<br />
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<br />
== Aplicação das Propriedades ==<br />
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Somatório em Linguagem Funcional ==<br />
<br />
====F#====</div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=198
Somatório e Produtório
2015-11-29T21:20:54Z
<p>Francleidepsimao: </p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Propriedades_de_Somat%C3%B3rio&diff=197
Propriedades de Somatório
2015-11-29T21:17:59Z
<p>Francleidepsimao: Created page with "== Propriedades de Somatório == <math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>onde C é uma constante. <math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n..."</p>
<hr />
<div>== Propriedades de Somatório ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>onde C é uma constante. <br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math><br />
<br />
<math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math><br />
<br />
<math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética.<br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math><br />
<br />
<math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math><br />
<br />
<math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math></div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Somat%C3%B3rio_e_Produt%C3%B3rio&diff=196
Somatório e Produtório
2015-11-29T21:17:52Z
<p>Francleidepsimao: Organização do assunto em link</p>
<hr />
<div>[[Propriedades de Somatório]]</div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Fundamentos_Matem%C3%A1ticos_da_Computa%C3%A7%C3%A3o_1&diff=170
Fundamentos Matemáticos da Computação 1
2015-11-24T21:47:19Z
<p>Francleidepsimao: Renamed the link Propriedades Somatório e Produtório to Somatório e Produtório</p>
<hr />
<div><br />
[[Raciocínio Matemático, Indução e Recursão]]<br />
<br />
[[Contagem]]<br />
<br />
[[Técnicas Avançadas de Contagem]]<br />
<br />
[[Somatório e Produtório]]</div>
Francleidepsimao
http://carol.dimap.ufrn.br/logicwiki/index.php?title=Fundamentos_Matem%C3%A1ticos_da_Computa%C3%A7%C3%A3o_1&diff=169
Fundamentos Matemáticos da Computação 1
2015-11-24T21:20:58Z
<p>Francleidepsimao: New link added: Propriedades de Somatório e Produtório</p>
<hr />
<div><br />
[[Raciocínio Matemático, Indução e Recursão]]<br />
<br />
[[Contagem]]<br />
<br />
[[Técnicas Avançadas de Contagem]]<br />
<br />
[[Propriedades de Somatório e Produtório]]</div>
Francleidepsimao