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Exercícios de Dedução Natural (view source)
Revision as of 11:07, 23 July 2021
, 11:07, 23 July 2021→Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Clássica
=== Derivabilidade de sequentes ===
====<math>\varphi \land \psi \vdash \psi \land \varphi</math>====
====<math>(\varphi \land \psi) \land \delta \vdash \varphi \land (\psi \land \delta)</math>====
====<math>\varphi \vdash \varphi \land \varphi</math>====
====<math>\alpha \land \beta, \gamma \land \delta \vdash \gamma \land \beta</math>====
====<math>\alpha \to (\beta \to \gamma) \vdash \beta \to (\alpha \to \gamma)</math>====
====<math>\vdash \alpha \to (\beta \to \alpha)</math>====
====<math>\vdash \alpha \to \alpha</math>====
====<math>\alpha \to \beta \vdash \alpha \to (\alpha \to \beta)</math>====
====<math>\alpha \to (\alpha \to \beta) \vdash \alpha \to \beta</math>====
====<math>\gamma \to \alpha, \gamma \to \beta \vdash \gamma \to (\alpha \land \beta)</math>====
====<math>\beta \lor (\alpha \land \beta) \vdash \beta</math>====
====<math>(\alpha \lor \beta) \to \gamma \vdash (\alpha \to \gamma) \land (\beta \to \gamma)</math>====
====<math>\alpha \vdash \neg\neg\alpha</math>====
====<math>\beta \to \alpha, \beta \to \neg\alpha \vdash \neg\beta</math>====
====<math>\alpha, \neg\alpha \vdash \neg\beta</math>====
====<math>\alpha\lor\beta, \neg\alpha\lor\gamma \vdash \beta\lor\gamma</math>====
====<math> \alpha\to\beta \vdash \neg\beta\to\neg\alpha</math>====
====<math>\neg(\alpha \lor \beta) \dashv\vdash \neg\alpha\land\neg\beta</math>====
===Derivabilidade de regras===
==== <math>\mathrm{(DNE)}</math> a partir de <math>\mathrm{DN_{int}}</math> + (<math>\mathrm{\bot E_{cls}}</math>) ====
==== <math>(\mathrm{\bot E_{cls}})</math> a partir de <math>\mathrm{DN_{int}}</math> + <math>\mathrm{(DNE)}</math> ====
==== <math>(\mathbb{M})</math> ====
==== <math>(\mathbb{R})</math> ====
==== <math>(\mathbb{T})</math> ====
==Dedução Natural para a Lógica Proposicional Clássica==
====Terceiro Excluído / ''Tertium Non Datur'': <math>\vdash\varphi\lor\neg\varphi</math>====
-->''Tarefa:'' Demonstrar a mesma fórmula, invertendo a ordem de aplicação das regras de introdução da disjunção.
==== <math>\neg\neg\alpha \vdash \alpha</math> ====
==== <math>\neg\beta\to\alpha, \neg\beta\to\neg\alpha \vdash \beta</math> ====
==== <math>\neg\alpha\to\neg\beta \vdash \beta\to\alpha</math> ====
==== <math>\vdash (\alpha \to \beta) \lor (\beta \to \alpha)</math>, via raciocínio por absurdo ====
==== <math>\vdash (\alpha \to \beta) \lor (\beta \to \alpha)</math>, via terceiro excluído ====
: {{#ev:youtube|9BdeXjhyJWs|||||start=413}} ==Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Intuicionista===== Derivabilidade de sequentes ======= <math>(\forall x)(\varphi \to \psi) \vdash (\forall x)\varphi \to (\forall x)\psi</math> ====: {{#ev:youtube|B7fFRZF_wao|||||start=1040}}==== <math>(\forall x)Q(x) \vdash (\forall y)Q(y)</math> ====: {{#ev:youtube|B7fFRZF_wao|||||start=1244}}==== <!math>(\forall x_1)(\forall x_2)R(x_1,x_2) \vdash (\forall x_2)(\forall x_1)R(x_1,x_2)</math> ====: {{#ev:youtube|B7fFRZF_wao|||||start=1303}}==== <math>(\forall x) \varphi_1 \land \varphi_2 \dashv\vdash (\forall x) \varphi_1 \land (\forall x)\varphi_2</math> ====: {{#ev:youtube|B7fFRZF_wao|||||start=1678}}==== <math>(\exists x)P(x), (\forall x)(\forall y)(P(x) \to Q(y)) \vdash (\forall y) Q(y)</math> ====: {{#ev:youtube|C37Y-1vqRAY|||||start=810}}==== <math>(\forall x)A(x), (\exists y)(A(y) \to B(y)), (\forall z)(A(z) \to C(z)) \vdash (\exists w)(B(w) \land C(w))</math> ====: {{#ev:youtube|C37Y-1vqRAY|||||start=1152}}==== <math>(\exists x)(\varphi_1 \lor \varphi_2) \dashv \vdash (\exists x)\varphi_1 \lor (\exists x)\varphi_2</math> ====: {{#ev:youtube|C37Y-1vqRAY|||||start=1425}}==== <math>(\exists x)(\forall y) \varphi \vdash (\forall y)(\exists x) \varphi</math> ====: {{#ev:youtube|C37Y-1vqRAY|||||start=1701}}==== <math>(\forall x)\neg\varphi \vdash \neg(\exists x)\varphi</math> ====: {{#ev:youtube|C37Y-1vqRAY|||||start=1910}} ==Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Clássica== === Derivabilidade de sequentes === ==== <math>\neg(\exists x)\neg\varphi \vdash (\forall x)\varphi</math> ====: {{#ev:youtube|8V6u6BrqJ-M|||||start=188}}==== <math>\vdash (\exists x)(\forall y)(B(y) \lor \neg B(x))</math>====: {{#ev:youtube|9BdeXjhyJWs8V6u6BrqJ-M|||||start=413460}}
===Derivabilidade de regras===
====Raciocínios Raciocínio por casos e : <math>\Gamma_1, \neg\varphi\vdash\psi; \Gamma_2, \varphi\vdash\psi \, / \, \Gamma_1, \Gamma_2 \vdash \psi</math>====: {{#ev:youtube|w-f04Idz-6M|||||end=141&loop=1}} ====Raciocínio por redução ao absurdo: <math>\Gamma_1, \neg\varphi\vdash\neg\psi; \Gamma_2, \neg\varphi\vdash\psi \, / \, \Gamma_1, \Gamma_2 \vdash \varphi</math>====<!--: {{#ev:youtube|w-f04Idz-6M|||||start=149&loop=1}} ==== <math>(\approx_{sim}) \Gamma \vdash t_1 \approx t_2 / \Gamma \vdash t_2 \approx t_1</math> ====: {{#ev:youtube|knltOmL0XEg|||||start=435}}==== <math>(\approx_{trn}) \Gamma_1 \vdash t_1 \approx t_2; \Gamma_2 \vdash t_2 \approx t_3/ \Gamma_1,\Gamma_2 \vdash t_1 \approx t_3</math>Confira [[Estratégias de demonstração]].====: {{#ev:youtube|knltOmL0XEg|||||start=515}}
==Para reflexão==
* O que ocorre se ao invés de adicionarmos ao sistema de Dedução Natural para a Lógica Intuicionista a regra <math> (\bot \mathrm{E}_{cls}) </math> adicionarmos a seguinte regra de ''consequentia mirabilis''?</p><!--
--><p><math> (\neg_{cls}) \; \Gamma, \neg\alpha \vdash \alpha\, / \, \Gamma \vdash \alpha </math></p><!--
--><p>(Podemos Será que podemos dizer, neste caso, que se trata de uma regra de introdução ou de eliminação? E quanta diferença isso faz?) * O que ocorre se ao invés de adicionarmos ao sistema de Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Intuicionista a regra <math> (\bot \mathrm{E}_{cls}) </math> adicionarmos a regra </p><!----><p><math> (DNQ) \; \Gamma \vdash (\forall x)\neg\neg\varphi\, / \, \Gamma \vdash \neg\neg(\forall x)\varphi </math></p>
==Veja também==
*[[Dedução Natural]]*[[Estratégias de demonstração]]* [[Introdução Computacional à Lógica Matemática]]
==Links externos==
*[http://pt.wikipedia.org/wiki/Dedu%C3%A7%C3%A3o_natural Dedução natural]* [http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_dedutivo Sistema dedutivo]