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→Provas de algumas propriedades
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot Ff(n)</math>, pela definição de somatório.
Portanto:
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.
=== Mudança de índices ===
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>
===== Passo base: s = t =====
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.
===== Passo indutivo: s < t =====
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.
Aplicando a HI:
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math>
Expandindo <math>k-s</math> vezes:
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math>
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math>
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.
Portanto:
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.
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