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| <math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math> | | <math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math> |
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| + | === Exemplo 2 === |
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| + | O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para |
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| + | <math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math> |
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| + | Para tal, note que |
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| + | <math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math> |
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| + | Logo, |
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| + | <math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math> |
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| + | Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula |
| + | desejada. |
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| + | ==== Resolução ==== |
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| + | <math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math> |
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| + | Pela fórmula da soma telescópica |
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| + | <math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math> |
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| + | === Exemplo 3 === |
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| + | Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para |
| + | calcular |
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| + | <math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math> |
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| + | de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas |
| + | soluções lhe parece mais fácil? |
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| + | ==== Resolução ==== |
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| + | <math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math> |
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| + | <math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math> |
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| + | <math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math> |
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| + | <math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math> |
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| + | <math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math> |
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| + | ===Exemplo 4=== |
| + | Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos |
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| + | 16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média. |
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| + | ==== Resolução ==== |
| + | <math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math> |
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| + | média aritmética é dada por : |
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| + | <math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math> |
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| + | Pela propriedade da progressão aritmética |
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| + | <math>\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}</math> |
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| + | usando a função de calculo da média: |
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| + | <math>\frac{(n-1)n}{2(n-1)} = \frac{n}{2} = 16,1</math> |
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| + | <math>n = 32,2</math> |
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| + | Substituindo <math>n</math> na equação: |
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| + | <math>n-1 = 31,2</math> |
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| + | <math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 517,92</math> |
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| + | <math>\sum_{k=1}^{n} k = 534,52</math> |
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| + | Portanto o termo omitido foi: |
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| + | <math>534,52 - 517,92 = 16,6</math> |
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| + | ===Exemplo 5=== |
| + | Encontre uma fórmula fechada |
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| + | <math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math> |
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| + | onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> . |
| + | ==== Resolução ==== |
| + | <math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \sum_{k=1}^{n} kk^2 = \sum_{k=1}^{n} k \sum_{k=1}^{n} k^2</math> |
| + | |
| + | Temos: |
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| + | |
| + | <pre>Incompleto |
| + | </pre> |
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| + | ===Exemplo 6=== |
| + | Calcule a soma |
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| + | <math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math> |
| + | |
| + | onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math> |
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| + | ==== Resolução ==== |
| + | Separando o somatório: |
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| + | <math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math>/ |
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| + | teremos que descobrir o |
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| + | <math>\sum_{k=1}^{n} k!</math> |
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| + | então |
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| + | <math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math> |
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| + | <math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math> |
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| + | <pre>Incompleto |
| + | </pre> |
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| + | ===Exemplo 7=== |
| + | Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> |
| + | |
| + | podem pertencer a uma mesma progressão aritmética? |
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| + | ==== Resolução ==== |
| + | Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math> |
| + | |
| + | os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> |
| + | pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c) |
| + | for igual a o termo do meio: |
| + | |
| + | <math>\frac {a+c}{2}= b </math> |
| + | |
| + | <math>\sqrt{3}\simeq1,7</math> |
| + | |
| + | inserindo os valores na equação: |
| + | <math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}\simeq1,6 </math> |
| + | |
| + | <math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}\simeq 1,7 </math> |
| + | |
| + | <math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,8 </math> |
| + | |
| + | |
| + | Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética. |
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| ==Referências== | | ==Referências== |
| <references /> | | <references /> |
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| + | ==Autores== |
| + | <pre>Jaimerson Araújo |
| + | |
| + | Francleide Simão |
| + | </pre> |
Propriedades de Somatório
, onde C é uma constante.
, note que
progressão aritmética.
Principais representações
Soma simples
Soma de quadrados
Quadrado da soma
Soma de produtos
Produtos das somas
Aplicação das Propriedades
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:
Exemplo 1
Utilize as propriedades de notação de somatório e,
possivelmente, mudança de índice para deduzir que
é igual a ,
onde é uma sequência de números reais.
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como soma telescópica.
Resolução
Expandindo vezes:
Exemplo 2
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para
Para tal, note que
Logo,
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula
desejada.
Resolução
Pela fórmula da soma telescópica
Exemplo 3
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para
calcular
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas
soluções lhe parece mais fácil?
Resolução
Exemplo 4
Suprimindo um dos elementos do conjunto {}, a média aritmética dos elementos
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.
Resolução
média aritmética é dada por :
Pela propriedade da progressão aritmética
usando a função de calculo da média:
Substituindo na equação:
Portanto o termo omitido foi:
Exemplo 5
Encontre uma fórmula fechada
onde .
Resolução
Temos:
Incompleto
Exemplo 6
Calcule a soma
onde
Resolução
Separando o somatório:
/
teremos que descobrir o
então
Incompleto
Exemplo 7
Os números
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?
Resolução
Assumindo uma PA
os termos
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)
for igual a o termo do meio:
inserindo os valores na equação:
Portanto não pertencem a mesma progressão aritmética.
Provas de algumas propriedades
Multiplicação por constante
, onde C é uma constante.
Passo base: s = t
, pela definição de somatório.
Passo indutivo: s < t
Suponha que para um arbitrário:
(Hipótese de indução)
Para , assumindo o lado esquerdo da equação, temos:
, pela definição de somatório.
Aplicando a HI:
Expandindo vezes:
Colocando em evidência:
Portanto:
, onde C é uma constante, .
Mudança de índices
Passo base: s = t
, pela definição de somatório.
Passo indutivo: s < t
Suponha que para um arbitrário:
(Hipótese de indução)
Para , assumindo o lado esquerdo da equação, temos:
, pela definição de somatório.
Aplicando a HI:
Expandindo vezes:
, uma vez que existem termos.
Portanto:
.
Somatório em Linguagem Funcional
defmodule FMC do
def somatorio(start \\0, finish, callback)
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do
callback.(start)
end
def somatorio(start, finish, callback) do
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)
end
defp _somatorio([], _), do: 0
defp _somatorio([head | tail], callback) do
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)
end
end
Referências
Autores
Jaimerson Araújo
Francleide Simão