O somatório representa somas com
termos, para sua representação utiliza-se o símbolo sigma
onde i representa o termo inicial da soma e n o termo final da soma.
Ele geralmente é utilizado na resolução de problemas de recorrência.
Propriedades de Somatório
, onde C é uma constante.
, note que
progressão aritmética.
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Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) }
Principais representações
Soma simples
Soma de quadrados
Quadrado da soma
Soma de produtos
Produtos das somas
Aplicação das Propriedades
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:
Exemplo 1
Utilize as propriedades de notação de somatório e,
possivelmente, mudança de índice para deduzir que
é igual a
,
onde
é uma sequência de números reais.
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como soma telescópica.
Resolução
Expandindo
vezes:
Exemplo 2
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para
Para tal, note que
Logo,
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula
desejada.
Resolução
Pela fórmula da soma telescópica
Exemplo 3
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para
calcular
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas
soluções lhe parece mais fácil?
Resolução
Exemplo 4
Suprimindo um dos elementos do conjunto {
}, a média aritmética dos elementos
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.
Resolução
média aritmética é dada por :
média aritmética de
usando a função de calculo da média:
Substituindo
na equação:
Portanto o termo omitido foi:
Exemplo 5
Encontre uma fórmula fechada
onde
.
Resolução
Temos:
Incompleto
Exemplo 6
Calcule a soma
onde
Resolução
Separando o somatório:
Temos:
e teremos que descobrir o
então
Incompleto
Exemplo 7
Os números
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?
Resolução
Assumindo uma PA
os termos
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)
for igual a o termo do meio:
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Portanto
não pertencem a mesma progressão aritmética.
Provas de algumas propriedades
Multiplicação por constante
, onde C é uma constante.
Passo base: s = t
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, pela definição de somatório.
Passo indutivo: s < t
Suponha que para um
arbitrário:
(Hipótese de indução)
Para
, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:
, pela definição de somatório.
Aplicando a HI:
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Expandindo
vezes:
Colocando
em evidência:
Portanto:
, onde C é uma constante,
.
Mudança de índices
Passo base: s = t
, pela definição de somatório.
Passo indutivo: s < t
Suponha que para um
arbitrário:
(Hipótese de indução)
Para
, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:
, pela definição de somatório.
Aplicando a HI:
Expandindo
vezes:
, uma vez que existem
termos.
Portanto:
.
Somatório em Linguagem Funcional
defmodule FMC do
def somatorio(start \\0, finish, callback)
def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do
callback.(start)
end
def somatorio(start, finish, callback) do
_somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)
end
defp _somatorio([], _), do: 0
defp _somatorio([head | tail], callback) do
callback.(head) + _somatorio(tail, callback)
end
end
Referências
Autores
Jaimerson Araújo
Francleide Simão