Somatório e Produtório

O somatório representa somas com $n$ termos, para sua representação utiliza-se o símbolo sigma $\sum _{n}{i=0}I$ onde i representa o termo inicial da soma e n o termo final da soma. Ele geralmente é utilizado na resolução de problemas de recorrência.

Propriedades de Somatório

$\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)$, onde C é uma constante.

$\sum _{n=s}^{t}f(n)+\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)+g(n)\right]$

$\sum _{n=s}^{t}f(n)-\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)-g(n)\right]$

$\sum _{i=m}^{n}f(i)=\sum _{i=m+p}^{n+p}f(i-p)$

$\sum \limits _{n=s}^{t}j=\sum \limits _{n=1}^{t}j-\sum \limits _{n=1}^{s-1}j$

$\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(n)$, note que $s\leq j\leq t$

$\sum _{i=m}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}-{\frac {m(m-1)}{2}}={\frac {(n+1-m)(n+m)}{2}},$ progressão aritmética.

$\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$

$\sum \limits _{k=0}^{n-1}{2^{k}}=2^{n}-1$

$\sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}=\sum _{i=s}^{m}a_{i}\cdot \sum _{j=t}^{n}c_{j}$

$\sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}$

$\sum _{i=m}^{n-1}a^{i}={\frac {a^{m}-a^{n}}{1-a}}(m<n)$

$\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}$

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Principais representações

Soma simples

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+...+x_{n}$

Soma de quadrados

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}$

Quadrado da soma

$(\sum _{i=1}^{n}x_{i})^{2}=(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})^{2}$

Soma de produtos

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n}$

Produtos das somas

$(\sum _{i=1}^{n}x_{i})(\sum _{j=1}^{m}y_{j})=(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})(y_{1}+y_{2}+...+y_{n})$

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Aplicação das Propriedades

Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:

Exemplo 1

Utilize as propriedades de notação de somatório e, possivelmente, mudança de índice para deduzir que $\sum _{j=1}^{n}(a_{j}-a_{j-1})$ é igual a $a_{n}-a_{0}$, onde $(a_{i})_{i=0}^{\infty }$ é uma sequência de números reais. Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como soma telescópica.

Resolução

$\sum _{j=1}^{n}(a_{j}-a_{j-1})=(a_{n}-a_{n-1})+\sum _{j=1}^{n-1}$

Expandindo $n$ vezes:

$\sum _{j=1}^{n}(a_{j}-a_{j-1})=(a_{n}-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+...+(a_{2}-a_{1})+(a_{1}-a_{0})$

$\sum _{j=1}^{n}(a_{j}-a_{j-1})=a_{n}-{\cancel {a_{n-1}}}+{\cancel {a_{n-1}}}-{\cancel {a_{n-2}}}+...+{\cancel {a_{2}}}-{\cancel {a_{1}}}+{\cancel {a_{1}}}-a_{0}$

$\sum _{j=1}^{n}(a_{j}-a_{j-1})=a_{n}-a_{0}$

Exemplo 2

O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para

$\sum _{k=1}^{n}(2\cdot k-1)$

Para tal, note que

$k^{2}-(k-1)^{2}=2k-1$

Logo,

$\sum _{k=1}^{n}\left(k^{2}-(k-1)^{2}\right)=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)$

Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula desejada.

Resolução

$\sum _{k=1}^{n}2\cdot k-1=\sum _{k=1}^{n}k^{2}-(k-1)^{2}$

Pela fórmula da soma telescópica

$\sum _{k=1}^{n}2\cdot k-1=n^{2}-0^{2}=n^{2}$

Exemplo 3

Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para calcular

$\sum _{k=1}^{n}(2\cdot k-1)$

de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas soluções lhe parece mais fácil?

Resolução

$\sum _{k=1}^{n}(2\cdot k-1)=\sum _{k=1}^{n}2\cdot k-\sum _{k=1}^{n}1$

$\sum _{k=1}^{n}(2\cdot k-1)=2\cdot \sum _{k=1}^{n}k-n$

$\sum _{k=1}^{n}(2\cdot k-1)=2\cdot {\frac {n\cdot (n+1)}{2}}-n$

$\sum _{k=1}^{n}(2\cdot k-1)=n^{2}+n-n$

$\sum _{k=1}^{n}(2\cdot k-1)=n^{2}$

Exemplo 4

Suprimindo um dos elementos do conjunto {$1,2,...,n$}, a média aritmética dos elementos

16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.

Resolução

$\sum _{k=1}^{n}k=1+2+...+n={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$

média aritmética é dada por :

${\frac {\frac {n\cdot (n+1)}{2}}{n}}={\frac {n\cdot (n+1)}{2n}}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}k$

média aritmética de $n-1{\text{: }}{\frac {1}{n-1}}\sum _{k=1}^{n-1}k=16,1$

$\sum _{k=1}^{n-1}k={\frac {(n-1)n}{2}}$

usando a função de calculo da média:

${\frac {(n-1)n}{2(n-1)}}={\frac {n}{2}}=16,1$

$n=32,2$

Substituindo $n$ na equação:

$n-1=31,2$

$\sum _{k=1}^{n-1}k=517,92$

$\sum _{k=1}^{n}k=534,52$

Portanto o termo omitido foi:

$534,52-517,92=16,6$

Exemplo 5

Encontre uma fórmula fechada

$\sum _{k=1}^{n}k^{3}$

onde $n\in N{\text{, com }}n\geq 1$ .

Resolução

$\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\sum _{k=1}^{n}kk^{2}=\sum _{k=1}^{n}k\sum _{k=1}^{n}k^{2}$

Temos:

$\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n-1)}{2}}$

Incompleto

Exemplo 6

Calcule a soma

$\sum _{k=1}^{n}k\cdot k!$

onde $n\in N{\text{,com }}n\geq 1$

Resolução

Separando o somatório:

$\sum _{k=1}^{n}k\cdot k!=\sum _{k=1}^{n}k\cdot \sum _{k=1}^{n}k!$

Temos:

$\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}$

e teremos que descobrir o

$\sum _{k=1}^{n}k!$

então

$\sum _{k=1}^{n}k!+(n+1)!=\sum _{k=0}^{n}(k!+1)!$

$1+\sum _{k=1}^{n}(k+1)!=1+\sum _{k=1}^{n}(k+1)k!$

Incompleto

Exemplo 7

Os números ${\sqrt {2}},\quad {\sqrt {3}}\quad {\text{e}}\quad {\sqrt {5}}$

podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?

Resolução

Assumindo uma PA $({\sqrt {1}},{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {4}},{\sqrt {5}})$

os termos ${\sqrt {2}},\quad {\sqrt {3}}\quad {\text{e}}\quad {\sqrt {5}}$ pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c) for igual a o termo do meio:

${\frac {a+c}{2}}=b$

${\sqrt {3}}=1,732050807568877$

${\frac {{\sqrt {1}}+{\sqrt {5}}}{2}}=1,618033988749895$

${\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {4}}}{2}}=1,707106781186548$

Portanto ${\sqrt {2}},\quad {\sqrt {3}}\quad {\text{e}}\quad {\sqrt {5}}$ não pertencem a mesma progressão aritmética.

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Provas de algumas propriedades

Multiplicação por constante

$\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)$, onde C é uma constante.

Passo base: s = t

$\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot f(n)$, pela definição de somatório.

Passo indutivo: s < t

Suponha que para um $k\in N,k>s$ arbitrário:

$\sum _{n=s}^{k}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{k}f(n)$ (Hipótese de indução)

Para $k+1$, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:

$\sum _{n=s}^{k+1}C\cdot f(n)=C\cdot f(k+1)+\sum _{n=s}^{k}C\cdot f(n)$, pela definição de somatório.

Aplicando a HI:

$\sum _{n=s}^{k+1}C\cdot f(n)=C\cdot f(k+1)+C\cdot \sum _{n=s}^{k}f(n)$

Expandindo $k-s$ vezes:

$\sum _{n=s}^{k+1}C\cdot f(n)=C\cdot (f(k+1))+C\cdot (f(k)+f(k-1)+...+f(s+1)+f(s))$

Colocando $C$ em evidência:

$\sum _{n=s}^{k+1}C\cdot f(n)=C\cdot (f(k+1)+f(k)+f(k-1)+...+f(s+1)+f(s))$

$\sum _{n=s}^{k+1}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{k+1}f(n)$

Portanto:

$\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)$, onde C é uma constante, $\forall s,t\in N$.

Mudança de índices

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t+1}f(n-1)$

Passo base: s = t

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=f(n)=\sum _{n=s+1}^{t+1}f(n-1)$, pela definição de somatório.

Passo indutivo: s < t

Suponha que para um $k\in N,k>s$ arbitrário:

$\sum _{n=s}^{k}f(n)=\sum _{n=s+1}^{k+1}f(n-1)$ (Hipótese de indução)

Para $k+1$, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:

$\sum _{n=s}^{k+1}f(n)=f(k+1)+\sum _{n=s}^{k}f(n)$, pela definição de somatório.

Aplicando a HI:

$\sum _{n=s}^{k+1}f(n)=f(k+1)+\sum _{n=s+1}^{k+1}f(n-1)$

Expandindo $k-s$ vezes:

$\sum _{n=s}^{k+1}f(n)=f(k+1)+f(k+1-1)+f(k-1)+...+f(s-1)+f(s+1-1)$

$\sum _{n=s}^{k+1}f(n)=f(k+1)+f(k)+f(k-1)+...+f(s-1)+f(s)$

$\sum _{n=s}^{k+1}f(n)=\sum _{n=s+1}^{k+2}f(n-1)$, uma vez que existem $k+2$ termos.

Portanto:

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t+1}f(n-1)\forall s,t\in N$.

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Somatório em Linguagem Funcional

Elixir

defmodule FMC do
  def somatorio(start \\0, finish, callback)

  def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do
    callback.(start)
  end

  def somatorio(start, finish, callback) do
    _somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)
  end

  defp _somatorio([], _), do: 0
  defp _somatorio([head | tail], callback) do
    callback.(head) + _somatorio(tail, callback)
  end
end

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Autores

Jaimerson Araújo

Francleide Simão