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Somatório e Produtório (view source)
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, 09:55, 10 December 2015no edit summary
====Produtos das somas====
<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)*(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)*(y_1+y_2+...+y_n)</math>
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== Aplicação das Propriedades ==
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:
=== Exemplo 1 ===
Utilize as propriedades de notação de somatório e,
possivelmente, mudança de índice para deduzir que
<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,
onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.
Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.
==== Resolução ====
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math>
Expandindo <math>n</math> vezes:
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math>
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math>
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math>
=== Exemplo 2 ===
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math>
Para tal, note que
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math>
Logo,
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math>
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula
desejada.
==== Resolução ====
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math>
Pela fórmula da soma telescópica
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math>
=== Exemplo 3 ===
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para
calcular
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math>
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas
soluções lhe parece mais fácil?
==== Resolução ====
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math>
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math>
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math>
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math>
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math>
===Exemplo 4===
Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos
16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.
==== Resolução ====
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math>
média aritmética é dada por :
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math>
Pela propriedade da progressão aritmética
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}</math>
usando a função de calculo da média:
<math>\frac{(n-1)n}{2(n-1)} = \frac{n}{2} = 16,1</math>
<math>n = 32,2</math>
Substituindo <math>n</math> na equação:
<math>n-1 = 31,2</math>
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 517,92</math>
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 534,52</math>
Portanto o termo omitido foi:
<math>534,52 - 517,92 = 16,6</math>
===Exemplo 5===
Encontre uma fórmula fechada
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math>
onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> .
==== Resolução ====
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \sum_{k=1}^{n} kk^2 = \sum_{k=1}^{n} k \sum_{k=1}^{n} k^2</math>
Temos:
<pre>Incompleto
</pre>
===Exemplo 6===
Calcule a soma
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math>
onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math>
==== Resolução ====
Separando o somatório:
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math>/
teremos que descobrir o
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math>
então
<math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math>
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math>
<pre>Incompleto
</pre>
===Exemplo 7===
Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math>
podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?
==== Resolução ====
Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math>
os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math>
pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)
for igual a o termo do meio:
<math>\frac {a+c}{2}= b </math>
<math>\sqrt{3}\simeq1,7</math>
inserindo os valores na equação:
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}\simeq1,6 </math>
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}\simeq 1,7 </math>
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,8 </math>
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.
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== Provas de algumas propriedades ==
===Multiplicação por constante===
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.
===== Passo base: s = t =====
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.
===== Passo indutivo: s < t =====
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.
Aplicando a HI:
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math>
Expandindo <math>k-s</math> vezes:
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math>
Colocando <math>C</math> em evidência:
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math>
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math>
Portanto:
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.
=== Mudança de índices ===
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>
===== Passo base: s = t =====
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.
===== Passo indutivo: s < t =====
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:
<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.
Aplicando a HI:
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math>
Expandindo <math>k-s</math> vezes:
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math>
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math>
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.
Portanto:
<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.
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== Somatório em Linguagem Funcional ==
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==Referências==
<references />
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==Autores==
<pre>Jaimerson Araújo
Francleide Simão
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