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<math>= (k+1).(k+5)</math>
Que é <math>p(k+1)</math>, assim, <math>p(k) \to p(k+1)</math> é verdadeiro. Portanto, pelo princípio da indução matemática,<math> 5+7+9+...+(2n+3)= n(n+4)</math> é verdadeiro para todo <math>n \ge 1</math>.
*Exemplo 3
Encontre uma fórmula para <math>"(\frac 1 – {1}{2}^2)"</math> (1- 1/3²) (1 – ¼²)...(1 – 1/n²)
Para n>=2, use o princípio de indução matemática para provar que sua fórmula está correta.
Primeiro precisamos de um palpite para a fórmula do produto. Usando n= 2,3,4,5 obtemos:
(1-1/2²) = ¾
(1-1/2² ) (1-1/3²)= 3/4 . 8/9 = 2/3
(1-1/2²) (1-1/3²) (1-1/4²) = 3/4 . 8/9 . 15/16 = 5/8
(1-1/2²) (1-1/3²) (1-1/4²) (1-1/5²) = 3/4 . 8/9 . 15/16 . 24/25 = 3/5
Assim, os produtos são 3/4, 2/3, 5/8, 3/5.
Podemos reescrever essas frações como 3/4, 4/6, 5/8, 6/10. Isso sugere n+1/2n como a forma geral da soma.
Seja p(n) : (1-1/2²) (1-1/3²) (1-1/4²)...(1-1/n²) = n+1/2n
Agora, tentamos mostrar que p(n) é verdadeiro para todo n>=2.
Passo base:
p(2) é verdadeiro. P(2) afirma que (1-1/2²) = 2+1/2.2, que é verdade pois, ambos os lados são iguais a ¾.
Passo indutivo:
P(k)p(k+1): suponha que p(k) é verdadeiro para algum k. portanto;
(1-1/2²) (1-1/3²) (1-1/4²)...(1-1/k²) = k+1/2k
Multiplica-se ambos os lados da equação por (1-1/(k+1)²) para obter
(1-1/2²) (1-1/3²) (1-1/4²) ...(1-1/k²) (1-1/(k+1)²) = k+1/2k (1-1/(k+1)²)
= k+1/2k ((k+1)² - 1/ (k+1)²)
= k+1/2k . k(k+2)/(k+1)²
= k+2/2(k+1)
Que é p(k+1). Portanto, pelo princípio da indução matemática,
(1-1/2²) (1-1/3²) (1-1/4²)...(1-1/n²) = n+1/2n é verdadeiro para todo n >=2.
==Conclusão==