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Agora confrontamos nosso exemplo final do uso do maple explorando teoremas matemáticos. Neste caso vamos explorar a conjectura de Goldbach: que é, todo inteiro par maior que 4 pode ser expressado como a soma de dois primos.
##'''Indução Matemática'''
O maple pode ser usado para auxiliar na elaboração de provas de várias afirmações matemáticas usando a indução matemática. De fato, com o maple como seu assistente, você pode conduzir inteiramente o processo de descoberta e averiguação de forma intuitiva. É provável que entre os primeiros exemplos de indução matemática, encontremos a verificação da fórmula '''1+2+3+...+n = n(n+1)/2''',a soma dos primeiros n inteiros positivos. O maple se adequa para provar fórmulas como essa porque os passos envolvidos numa prova indutiva incluem manipulação simbólica. É possível gerar uma grande quantidade de dados numéricos para serem examinados.
Podemos usar o procedimento subs para verificar o passo base da indução; neste caso o passo base é n=1
Os resultados coincidem (concordam), então o passo base é estabelecido. Para o passo indutivo, usamos que a fórmula seja válida para n=k.
Para somar k+1 termos, computamos:
Por fim, a fórmula para n=k+1 é:
Os resultados coincidem, então o passo indutivo é verificado. A fórmula agora segue por indução matemática. Assim, podemos concluir que enquanto o maple ainda não é capaz de construir provas inteiramente por conta própria, é uma ferramenta muito efetiva para ser usada na construção de provas interativas.
Agora, vamos considerar um exemplo mais complicado. A fórmula do somatório.
É bem menos óbvio que o exemplo anterior. Para descobri-lo, iniciaremos gerando alguns dados numéricos
Se um padrão não é imediatamente óbvio,podemos auxiliar nossa intuição gerando uma sequencia paralela.
Observando isto um pouco, fica óbvio que estamos no caminho certo, vamos apenas fazer alguns pequeno ajustes.
Desta evidencia, devemos inferir a conjectura que a fórmula para nosso somatório é:
A prova indutiva pode ser conduzida assim como foi feito no primeiro exemplo
O passo base é:
O passo indutivo é:
Usando um pouco de manipulação algébrica, vemos que as duas últimas fórmulas são iguais. Isso completa a prova via indução matemática. Concluímos que nosso palpite sobre a fórmula está correto.
###'''Definições Recursiva e Interativa'''
As funções do maple podem ser definidas tanto processualmente (usando a função '''proc''') como explicitamente (usando a notação '''->'''), cada um desses métodos envolve meios interativos e recursivos de definição. Iniciamos nosso estudo, usando a função “->” do maple. Se nós quiséssemos definir uma função polinomial '''A(n)= 3n³ + 41n²- 3n + 101''' nós usaríamos o seguinte comando:
Agora, se quiséssemos definir uma função recursivamente, digamos:
'''b(n) =b(n-1)² + 2b(n-1) +6''', com a condição inicial '''b(0) =2''', então informaríamos('''inserir'''):
Se quiséssemos ver uma sequencia de valores para a função '''b''', podemos usar a função '''seq''', para exibir as saídas de um dado intervalo de entradas.
Agora, criaremos uma função similar a '''b''', chamada '''f1''', que encontrará os números Fibonacci.
Enquanto a notação '''->''' para funções é conveniente e intuitiva, ela não oferece todas as facilidades para melhoria da eficiência que estão disponíveis no uso do comando proc. Para forçar o maple a calcular esses valores de forma eficiente, usamos a opção remember para definições de procedimentos afetados pelo uso do proc. Esta opção exige que o maple lembre de qualquer valor para procedimento que já tenha sido computado através do armazenamento destes em uma tabela Fibonacci.
Esse método processual engloba ambos os casos, o caso base (quando '''n <=2''') e os casos indutivos (como na condição “else”). Adicionalmente, o procedimento tem a indicação da função remember, forçando o maple a manter controle sobre quais valores da função já foram encontrados, para que estes sejam diretamente verificados ao invés de serem novamente computados.
Agora, para ilustrar a diferença em complexidade computacional, compararemos os métodos processual e '''->''' usando a função time do maple.
Então , fica claro que a função remember pode fazer uma enorme diferença em complexidade de tempo. Outra maneira de melhorar a eficiência de uma função definida recursivamente é reescrevê-la para evitar o uso de recursão. Ao invés disso, reestruturamos para que use um algoritmo iterativo. Na construção de um algoritmo iterativo, os componentes chave consistem em criar uma forma de loop (um 'for' ou 'while') que computará valores começando do menor para o maior. Este método de programação é chamado de '''bottom up''': onde os menores valores de uma sequencia são computadose então usados para valores maiores.
Faça um contraste entre esse procedimento e o procedimento recursivo '''f2''' que foi definido anteriormente.
Ambos os casos base e passo recursivo são explicitamente definidos no corpo do procedimento. O algoritmo primeiro tenta computar diretamente o valor verdadeiro e pede valores de subcasos conforme é solicitado. Este método de programação é conhecido como 'top-down', pois os valores maiores são computados através da quebra da entrada em partes menores e da combinação dos resultados. Similar a atravessar uma árvore binária. Perceba que o procedimento recursivo com a opção remember e o procedimento iterativo tem praticamente a mesma performance. Para os primeiros vinte números Fibonacci, obtemos:
Que é comparável às vezes obtidas para '''f2'''. Note que a implementação puramente recursiva '''f1''' não possibilita o uso para '''f2(100)'''. De fato, um bom exercício é mostrar que para fazê-lo, '''f2''' precisaria de aproximadamente '''f2(99)''' chamadas para operar todos os subcasos que surgirem. Mesmo a um bilhão de subcasos por segundo, isso exigiria mais de seis mil anos para sua conclusão.
####'''omputações e Explorações'''
Nesta seção do material, exploraremos o modo como o maple pode ser usado para resolver as questões 4,5 e 8 da seção “computações e explorações” do livro.
#*Quantos pares de números primos podem ser encontrados?
Para determinar quantos pares de números primos existem, usaremos o pacote '''numtheory''' do maple, que contém as funções nextprime, 'prevprime' e 'ithprime'
Agora, após formada uma lista de primos, queremos extrair quaisquer pares de primos que ocorram nessa lista.
Ao invés de dar como resultados os pares de números primos, o número de sequências de primos pode indicar um padrão, então construímos uma lista dos '''i’s''' que formarem pares.
Parece não haver um padrão óbvio ocorrendo.
#**Determine quais números Fibonacci são divisíveis por 5, quais são divisíveis por 7 e quais são divisíveis por 111. Prove que suas conjecturas estão corretas.
Primeiro vamos gerar dados para trabalhá-los (manipulá-los).
Queremos determinar os índices n para os quais o enésimo número Fibonacci é divisível por 5. Uma maneira de fazer isso é construindo uma lista, através de testes com os dados acima e adicionando à lista somente os índices n para os quais o teste retorne “verdadeiro”.
Isso constrói uma lista indicando quais entre os primeiros 500 números Fibonacci são múltiplos de 5. Os dados indicam que o enésimo número Fibonacci '''Fn''' é divisível por 5, somente se '''n''' é divisível por 5. Para obter evidências para a conversão, devemos testar se '''F5''' '''n''' é divisível por 5, para tantos n quanto forem possíveis. Para que nosso teste seja conciso e ainda permita testar um grande intervalo(série) de valores, vamos implementá-lo de maneira que nenhum resultado seja produzido, amenos que seja encontrado um contra exemplo.
Assim, não há contra exemplo entre os primeiros 5000 números Fibonacci. Você pode testar com valores maiores que 1000, para obter novas evidências. Outra abordagem ligeiramente diferentepode ser usada para encontrar os números Fibonacci divisíveis por um dado inteiro, neste caso, o número 7. Nós simplesmente construímos o teste de divisibilidade no comando para gerar dados.
Podemos agora selecionar os índices dos pares cujo segundo membro seja igual a 0.
Podemos perceber um padrão nesses dados, como o seguinte:
Você pode tentar averiguar se esse padrão persiste, substituindo 500 na definição de '''fib_list''' por números muito maiores. (o teste da divisibilidade por 111, nós deixamos pra você).
#***A notória conjectura '''3x + 1''' (também conhecida como conjectura de Collatz e por vários outros nomes) afirma que: independente de qual inteiro x você escolha para iniciar, em iteração com a função '''f(x)''', onde '''f(x) = x/2''', se '''x''' é par e '''f(x) = 3x+1''' se '''x''' é ímpar, sempre produz o inteiro 1. Cheque essa conjectura para tantos inteiros positivos possíveis.
Agora escrevemos uma função que fará a iteração da função Collatz até que o valor obtido seja igual a 1, nós incluímos uma variável 'count' por dois motivos: Primeiro, queremos ter uma idéia de quanto tempo leva para que as iterações estabilizem; Segundo, já que não sabemos ao certo se as iterações vão estabilizar para um dado valor de entrada 'seed', nos codificamos um limite superior para o número de iterações a serem computadas.
Para averiguar a conjectura para os 1000 primeiros inteiros, podemos usar a função '''IC'''como no exemplo a seguir:
Perceba que, o fato de a função ter eventualmente parado é a averiguação que buscamos.
Para inicar, precisamos definir a função, a qual examinaremos.