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Use o princípio da indução matemática para provar que <math>1 + 5 + 5^2 +5^3 +...+5n = \frac {5^{n+1}-1}{4} </math> para todo <math> n \ge 0</math>
Seja Pp(n) a afirmação <math>1+5^2+5^3+...+5n = \frac {5^{n+1} -1}{4}</math>
'''Passo base:''' Pp(0) : <math>1= \frac {5^{0+1}-1}{4}</math>, (perceba que a soma no lado esquerdo de p(0) inicia e termina com o primeiro termo 1, consequentemente é apenas o primeiro termo 1). <math>Pp(0)</math> é verdadeiro pois ambos os lados são iguais a 1.
'''Passo indutivo:'''
<math>P(k) \to Pp(k+1)</math>: suponha para qualquer k, <math>Pp(k)</math> é verdadeiro, isto é,
<math>1+5+5^2+5^3+...+ 5k = \frac {5^{k+1} -1}{4}</math>
Precisamos mostrar que a próxima afirmação <math>Pp(k+1)</math>, é verdadeira:
<math>1+5+5^2 +5^3 +...+5^{k+1} = \frac {5^{k+2} -1}{4}</math>
Para fazer isso, iniciamos com <math>Pp(k)</math> e adicionamos o próximo termo, <math>5^{k+1}</math>, em ambos os lados, depois mostramos que essa é a afirmação <math>Pp(k+1)</math>.
<math>1+5^2+5^3+...+5k = \frac {5^{k+1} -1}{4}</math>
<math>+5^{k+1} -------------------------- 5^{k+1}</math>
<math>1+5^2+5^3+...+5k+5^{k+1} = \frac {5^{k+1} -1 +4.5^{k+1}}{4}</math>