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== '''1.Funções Booleanas''' ==
No Maple, há um construtor do tipo '''booleano''', isto é, um tipo de variável que pode ser usada para representar valores booleanos. Existem apenas dois valores booleanos e no Maple eles são representados pelos literais '''true''' e '''false'''. Para o Maple, estes são dois valores constantes, assim como o numero '''2''' ou a matriz identidade 3x3 são constantes. Se você atribuir alguma dessas duas constantes para uma variável então o valor da variável será um valor constante.
Não é simplesmente '''a'''.
== = '''Um Avaliador Booleano''' === Antes de prosseguir, será conveniente introduzir uma nova função do Maple '''evalb'''. Este é um avaliador geral para expressões booleanas . A expressão booleana é simplesmente uma expressão válida no Maple construída a partir de valores booleanos, variáveis e operadores. No entanto, também é possível produzir valores booleanos a partir de outros tipos de expressões no Maple, como nas expressões aritméticas. Por exemplo, a expressão 2 = 3 e 3.14 = 3.14 são duas expressões aritméticas cujos valores são booleanos, isto é, '''true''' ou '''false'''. A função '''evalb''' permite avaliar expressões como estas como expressões booleanas valoradas no Maple.<pre>evalb(2 = 3);evalb(3.14 = 3.14);</pre>É geralmente a partir de expressões como estas (ou seja, práticas) que usualmente são gerados valores booleanos. Você já viu isso ser usado, muitas vezes, nas cláusulas de teste de condicional ( if ... then ... else ) e delarações de ''looping'' ( for, while ) no Maple. Antes de irmos muito adiante, vale salientar que Maple realmente compreende um terceiro valor booleano, '''‘fail’'''. Este é um pouco diferente do discutido no livro, onde apenas dois valores booleanos são reconhecidos. O valor '''fail''' é uma adição útil em uma linguagem de programação como Maple, uma vez que pode ser utilizado para indicar que um determinado cálculo não foi completamente processado com êxito. Não deve se confundir '''fail''' com '''false'''; '''fail''' é um valor usado para indicar um erro de cálculo, não um valor booleano normal. === '''Representando Funções Booleanas''' === Vamos ver agora como nós podemos representar funções booleanas no Maple. Estas são exatamente como qualquer outra função e pode ser criada usando o comando '''proc'''. Por exemplo, a função booelana escrita (usando a notação do livro) como: ''F(z,y,z) = xy + yz + zx'' pode ser escrita no Maple com o seguinte procedimento<pre>F := proc(x, y, z) RETURN((x and y) or (y and z) or (z and x)); end:</pre>A tradução como você pode ver é bastante simples. Um produto como xy é traduzido diretamente para expressões no Maple como x and y, enquanto a ''sum x+y'' é traduzida como x or y. Se vocẽ imaginar que cada produto xy tem um ponto infixo como ''x.y'', então uma simples regra de substituir cada ponto ( . ) por um operador '''and''' e também trocar cada + pelo operador '''or'''. Os parênteses na hora de definir '''F''' acima não são realmente necessários mas ajudam na leitura do programa. (Porque parênteses bem usados nunca doem). === '''Verificando Identidades Booleanas''' === É relativamente simples usar Maple para verificar identidades booleanas. Para este tipo de trabalho, nós podemos usar os operadores booleanos inertes. Por exemplo, nós podemos checar as leis distributivas como a seguir:<pre>with(logic); # for 'bequal()'left := x &or (y &and z);right := (x &or y) &and (x &or z);bequal(left, right);</pre>Aqui, nós usamos a biblioteca Maple '''bequal''', que testa se duas expressões booleanas são equivalentes (retornando um dos valores booleanos '''true''' ou '''false''' conformemente). Você precisa ter o pacote '''logic''' carregado para usar essa função.Se duas expressões booleanas não são logicamente equivalentes, isto pode ser interessante para determinar algumas atribuições de valor para as variáveis que estão nas duas expressões as quais determinam a identidade inputável a falhar. A procedure '''bequal''' pode ser dada como um terceiro argumento optativo sob o qual irá ser dado uma tal atribuição se o valor falso for o resultado. === '''Dual''' === No Maple, existe uma procedure para encontrar a dupla de uma explressão booleana.Lembre-se que a dupla de uma expressão booleana é obtida trocando cada ocorrência de '''and''' e '''or''' por '''or''' e '''and''' respectivamente.Para usar essa procedure você deve carregar o pacote '''logic''';<pre>with(logic):</pre>A procedure é chamada '''dual''' (naturalmente) e recebe como argumentos a expressão booleana formada usando as versões inertes dos operadores booleanos.<pre>dual(false);dual(true);dual(x &and y);dual(x &or (¬ y &or ¬ x and ¬ (¬ z)));</pre> A beleza da dualidade é que, uma vez que você provar uma identidade booleana, você pode usar o '''dual''' a vontade!Enquanto é possível usar Maple para provar uma identidade pela força bruta, isto é, checando cada valor possível das variáveis, o pacote '''logic''' oferece uma solução mais elegante.Como um exemplo disto, vamos usar o Maple para provar a identidade[[File:imagem2.png|200px]]e formular nossas expressões usando operadores inertes.<pre>with(logic): # don't forget to define 'bequal'.left := (x &and ¬ y) &or (y &and ¬ z) &or (z &and ¬ x);right := (¬ x &and y) &or (¬ y &and z) &or (¬ z &and x);bequal(left, right);</pre>Agora, nos usamos esta afirmação à vontade.<pre>dual(left);dual(right);bequal(%, %%);</pre> === '''Forma Normal Disjuntiva''' === O Maple provem, em seu pacote '''logic''', uma função para computar a disjunção normal para uma expressão booleana. Esta função é chamada '''canon''' (de canônico). Os exemplos a seguir tipificam a chamada sintaxe<pre>with(logic):canon((a &or b) &and (c &and d), a,b,c,d);canon((a &or b) &and (¬ a &or b), a,b);canon((a &or b) &and (¬ a &or b), b);</pre>O último exemplo mostra que deve haver pelo menos variáveis suficientes para explicar as que figuram no primeiro argumento. O primeiro argumento para '''canon''' é a expressão a ser transformada, e o segundo argumento é o conjunto de variáveis que aparecem na forma normal disjuntiva . É possível especificar as variáveis que não aparecem na equação original.<pre>canon(a, a,b);</pre>Na verdade, há um terceiro argumento, opcional para '''canon''', que especifica qual forma canônica produzir. Tanto em um dos três valores '''DNF''' (forma normal disjuntiva, o padrão), '''CNF''' (forma normal conjuntiva), ou '''MOD2''', que direciona '''canon''' para converter o seu primeiro argumento para uma expressão aritmética modulo 2 equivalente (na forma canônica).<pre>canon((a &or b) &and (¬ a &or ¬ b), a,b, DNF);canon((a &or b) &and (¬ a &or ¬ b), a,b, CNF);canon((a &or b) &and (¬ a &or ¬ b), a,b, MOD2);</pre> == '''Representação de Funções Booleanas''' == Vimos anteriormente como, dada uma expressão booleana, é muito fácil escrever um procedimento Maple que é representado por essa expressão booleana. É uma questão simples de envolver uma expressão em uma chamada de procedimento. Nesta seção, vamos olhar para o que pode ser considerado, em certo sentido, o problema oposto. Isto é, dada uma função booleana, expressa como uma tabela de valores, como podemos encontrar uma expressão booleana que a representa? Agora, precisamos entender primeiro que, uma vez que a álgebra booleana lida com um domínio de apenas dois valores, certas simplificações são possíveis, o que não estaria presente se estivéssemos lidando com, digamos, funções reais. Agora podemos ver por que álgebra booleana é, de certa forma, mais simples do que algumas outras áreas da álgebra. A fim de especificar uma função booleana-valorizada f (qualquer que seja seu domínio), é necessário apenas especificar que valores do domínio de f são mapeados para 1.O resto do domínio de f deve ser mapeado para 0! (De mesmo modo, pode-se especificar que valores de f são mapeados para 0, e o restante seria necessariamente mapeados para 1. ) Isso funciona porque as pré-imagens dos pontos no contradomínio de qualquer função de partição de domínio da função. Para as funções booleano-valorizado, existe exatamente dois conjuntos na partição, um para cada um dos valores booleanos em seu contradomínio. (Um Avaliador Booleanodos dois conjuntos pode estar vazio.) Esta ideia é a chave para o método descrito no texto para determinar a expressão booleana representando uma dada função booleana, e é o princípio sobre o qual devemos basear nosso procedimento Maple para computar tais expressões. Vamos escrever um programa Maple que, quando alimentada a pré-imagem sob uma função booleana do valor '''true''', computará uma expressão booleana que representa aquela função. Depois, devemos ver uma técnica para achar uma boa expressão que represente uma determinada função. O procedimento que devemos escrever aqui computará a chamada representação da '''soma de produtos'''. O primeiro passo é projetar a(s) entrada(s) do procedimento. Como foi discutido acima, apenas é necessário especificar a pré-imagem de (digamos) '''true''' (isto é, de 1) de acordo com nossa função. Isso significa que precisamos entrar com os valores como n-tuplas que, baseado na aplicação de nossa função, produz o valor '''true'''. Vamos considerar uma função bem simples ''f (x, y, z)'', de três variáveis, com a seguinte tabela de verdade.<pre>x y z 0 0 0 10 0 1 00 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1</pre> Temos que especificar que a tripla ''(a,b,c)'', no domínio de ''f'', são mapeadas para 1. No caso, esta é a lista (0 0 0), (0 1 0), (0 1 1), (1 1 0), (1 1 1)de triplas. Então, este é o tipo de entrada que devemos fornecer ao noso procedimento. Uma vez que isso é feito, resulta que os pontos restantes (0 0 1), (1 0 0), (1, 0, 1)no domínio de ''f'' são mapeados para 0 - não é necessário especificar isso diretamente.Agora, uma vez que sabemos quais n-tuplas no domínio de nossa função são mapeados por ela para 1, precisamos encontrar um '''MinTerm''' (termo mínimo) correspondente para cada uma dessas n-tuplas. Vamos escrever isso como uma subrotina para nosso procedimento principal<pre>getMinTerm := proc(ll) local e, # the minterm, to be returned t, # temporary variable i; # loop index</pre>checar argumento,<pre> if not type(ll, list(boolean)) then ERROR(`expecting a list of boolean values`); fi;</pre>fazer a construção,<pre> for i from 1 to nops(ll) do if ll[i] = true then t := `x`.i; else t := `not x`.i; fi; if i = 1 then e := t; else e := cat(e, ` and `, t); fi; od;</pre>e adicionar parênteses para melhorar a legibilidade.<pre>RETURN(cat(`(`, e, `)`));end:</pre>Este procedimento implementa o algorítmo do texto para computação de um minitermo para representar uma pré-imagem de 1 (representada no Maple como '''true'''). Para encontrar o minitermo correspondente para uma tripla (1,0,1) que, no Maple é escrita como ''true, false, true'', computamos<pre>getMinTerm([true, false, true]);</pre>Ao ter determinado '''MinTerm''' para cada uma das pré-imagens de 1, tudo que resta a fazer é determinar a soma desses '''MinTerm'''. Isto será realizado pelo procedimento principal de nosso programa<pre>SumOfProductsExpansion := proc() local e, # expression to return i; # loop variable</pre>se não há argumentos, a função é identicamente ‘false’<pre> if nargs = 0 then RETURN(`false`); fi; for i from 1 to nargs do if not type(args[i], list(boolean)) then ERROR(`arguments must be lists of booleans`); fi; if i = 1 then e := getMinTerm(args[i]); else e := cat(e, ` or `, getMinTerm(args[i])); fi; od; RETURN(e);end:</pre>Podemos usar este programa para encontrar uma expressão booleana que representa a nossa função de exemplo a seguir.<pre>SumOfProductsExpansion( [false, false, false], [false, true, false], [false, true, true], [true, true, false], [true, true, true]);</pre> == '''Minimização de Expressões Booleanas e Circuitos''' == Nossa função para encontrar a soma da expansão de produtos de uma função booleana pode levar a circuitos ineficientes, porque o número de portas requeridas para implementá-los diretamente pode ser muito bem superior ao número que é realmente necessário. No entanto, o número de funções booleanas distintas de n variáveis (em que n é um inteiro positivo) é finito - de fato, é igual a <math>2^{2^{n}}</math>, como mostrado no texto - é fácil visualizar que o número de expressões booleanas distintas sobre n variáveis é infinito.Algumas formas do Princípio da Casas dos Pombos nos obriga a concluir que algumas funções booleanas têm muitas - na verdade, infinitamente muitas - representações distintas através de expressões booleanas.Da perspectiva de projeto de circuito, portanto, o que é necessário é um método para ''minimizar'' um circuito, no sentido em que se deseja, dado um circuito, encontrar um circuito equivalente que usa o menor número de portas quanto possível.A fim de fazer o Maple fazer isso para nós, devemos traduzir o problema da linguagem pictórica de diagramas de circuitos para uma descrição algébrica envolvendo expressões booleanas, reconhecendo que um diagrama de circuito é uma representação pictórica de uma expressão booleana equivalente, onde em uma porta lógica simples representa-se um dos operadores padrões booleanos: '''and''', '''or''' e '''not'''.Para tornar isso um pouco mais concreto, vamos ver um exemplo simples. A expressão booleana ''xy + xȳ'' que, representada na sintaxe de Maple, parece<pre>e := (x &and y) &or (x &and ¬ y);</pre>pode ser minimizada atarvés da utilização de Maple da seguinte forma<pre>with(logic):distrib(x &and (y &or ¬ y));</pre>que mostra que as expressões ''x ( y + ȳ ) and xy + xȳ'' representam a mesma função booleana. Porém ''y + ȳ = 1'', para qualquer y<pre>bequal(y &or ¬ y, true);</pre>de modo que ''x ( y + ȳ )'' simplifica ainda mais para x.O truque consiste em detectar, para uma determinada expressão booleana, as oportunidades para eliminar variáveis, ou reduzir o número de '''MinTerm''', usando as propriedades algébricas de operadores booleanos. Para o exemplo simples acima, este foi muito fácil, e Maple apenas nos permitiu provar que nossas suposições estavam corretas. Mas expressões que são apenas um pouco mais complicadas podem exigir muito mais para detectar tais simplificações. O que precisamos é algo que vai nos permitir trabalhar na direção oposta à que foi tomada acima, ou seja, dada a expressão original, podemos realmente encontrar uma expressão mais simples a que é equivalente? Além disso, podemos encontrar uma que é mínima?Felizmente, o pacote de '''logic''' de Maple proporciona um minimizador de circuito que cuida de tudo isso para nós. Ele é chamado '''bsimp'''. Para usar esse método, você deve carregar o pacote '''logic''' primeiro em sua sessão Maple, ou chamá-lo pelo nome completo '''logic[bsimp]'''.Claro, o Maple não fala diretamente em termos de portas e circuitos. Para solicitar ao Maple para minimizar um circuito, você deve falar a linguagem algébrica de Maple, especificando a expressão booleana equivalente.Por exemplo, para simplificar o exemplo anterior<pre>e := (x &and y) &or (x &and ¬ y);</pre>você pode digitar<pre>with(logic): # load 'bsimp'bsimp(e);</pre>Você pode aplicar '''bsimp''' a qualquer expressão booleana formada usando os operadores booleanos inertes do pacote '''logic'''. Vamos ver como Maple lida com alguns exemplos mais complicados.<pre>with(logic):e := (w &and x &and y &and (¬ z)) &or (w &and (¬ x) &and y &and z) &or (w &and (¬ x) &and y &and (¬ z)) &or ((¬ w) &and x (¬ y) &and z) &or ((¬ w) &and (¬ x) &and y &and z) &or ((¬ w) &and (¬ x) &and (¬ y) &and z);</pre>O procedimento '''bsimp''' é muito complexo, e usa um algoritmo de Quine-McCluskey baseado na representação de expressões booleanas como conjuntos. Estas estruturas de dados, embora muito natural para Maple, não correspondem muito bem com a descrição dada no texto. == '''Condições Indiferentes''' == É possível usar o nosso procedimento '''SumOfProductsExpansion''' para lidar com as chamadas condições indiferentes. Aqui, vamos desenvolver um procedimento Maple que nos permite calcular uma soma de produtos em expansão (forma normal disjuntiva), de comprimento mínimo, para uma função booleana especificada juntamente com condições indiferentes.Informalmente, um conjunto de condições indiferentes para uma função booleana f é um conjunto de pontos no domínio de f cujas imagens em f nós não estamos interessados. Em outras palavras, somos indiferentes a respeito para onde f envia esses pontos. Há provavelmente alguns pontos do domínio de f, no entanto cujas imagens sob f são importantes para nós. Estes pontos em que f é bem definida forma um subconjunto A do domínio de f, e a restrição de f para A é uma função bem definida (no sentido de que não existe ambiguidade em relação ao valor de f em qualquer destes pontos). Nota-se que, se f é para ser uma função de n variáveis, então o domínio D é simplesmente o conjunto {0, 1}^n de todos n-tuplas de 0's e 1's (ou, em sintaxe Maple, o conjunto {true, false}. Se pensarmos em f como uma função totalmente definida neste subconjunto A de D, então, o que nos interessa é a família de todas as extensões de f a D. Que é o conjunto de todas as funções booleana valorada g de D, cuja restrição a A é igual a f. Agora, cada uma destas funções g é completamente definida em D, de modo que a técnica usada anteriormente para calcular a expansão da soma dos produtos pode ser aplicada a qualquer um deles. Assim, para encontrar uma expansão da soma de produtos ideal (que, aqui, significa menor) de f, podemos calcular a unica expansão de soma de produtos para cada extensão g de f para D, e procurar entre eles por um de tamanho mínimo.Devemos parar para considerar o tamanho desse problema. O subconjunto A de D em que f é bem-definida, e o subconjunto DC de pontos indiferentes (don’t care points), em que f não é especificada na partição o domínio D, isto é, D deve ser escrito como uma união disjunta [[File:imagem.png|100px]].Se temos d como um ponto indiferente (isto é, se |D| = d), então temos <math>2^{d}</math> extensões g de f para D. Cada extensão corresponde a uma escolha de um subconjunto de DC para incluir entre ele e as pré-imagens de 1. Então, o problema cresce muito rapidamente com o número de pontos indiferentes, ou condições.A ótica que adotamos aqui faz com que seja muito fácil ver um algorítmo que calcula uma expansão da soma de produtos, de tamanho mínimo, para uma função determinada com condições indiferentes. Podemos simplesmente fazer uma pesquisa exaustiva sobre o conjunto de todas as extensões bem definidas.Para fazer isso, rescreveremos o procedimento Maple '''dcmin''' (Don’t Care Minimizer - Minimizador Indiferente) para construir todas as <math>2^{d}</math> funções, chame nosso procedimento '''SumOfProductsExpansion''' sobre cada, e depois olhe para um que tenha o comprimento mínimo. Aqui está o código Maple para fazer isso.<pre>dcmin := proc(pt::set,list, dc::set,list) local e, # expression to return te, # temporary expression i, # index s, # the size of the smallest expression so far PT, # pt as a set DC, # dc as a set PDC, # power set of DC T, # temporary set (loop variable) S; # temporary domain for well-defined functions PT := op(pt); DC := op(dc); PDC := combinat[powerset](DC); s := infinity; for T in PDC do S := T union PT; te := SumOfProductsExpansion(op(S)); if evalb(length(te) < s) then e := te; s := length(e); fi; od; if s = infinity then ERROR(`can't happen`); else RETURN(e); fi;end:</pre>Isto é simplesmente uma solução de força bruta para o problema. Rodamos em loop sobre todos os conjuntos possíveis de valores no conjunto de indiferentes '''DC''' que, com efeito, nos permite especificar uma função bem definida exclusiva para a entrada de '''SumOfProductsExpansion'''. Examinemos o comprimento da expressão '''te''' retornada para cada entrada, e, se essa se revelar como menor do que qualquer outra expressão vista até o momento, gravamos como o novo valor de '''e'''. Quando todas as possibilidades forem esgotadas, a variável '''e''' irá conter uma expressão de menor comprimento que representa a função de entrada.Perceba que existe, de fato, várias expressões que o comprimento é igual a este valor mínimo. Nosso procedimentos retorna a primeira expressão que é encontrada com esse tamanho.Temos feito este procedimento um pouco mais amigável, projetando-o para que ele aceite ou um par de listas ou um par de conjuntos como entrada.Note que, como adotado aqui, o comprimento de uma expressão é simplesmente uma medida da sua complexidade. Você pode, por exemplo, desejar contar o número de operadores booleanos na expressão e minimizar esse número. Você poderia mudar este procedimento simplesmente substituindo a função '''length''' por alguma outra medida de complexidade de expressões.Agora que temos um procedimento para minimização de funções Booleanas, vamos usá-la com alguns exemplos. Considere uma função ''f (x, y, z)'' booleana com a seguinte tabela verdade, em que um d na coluna mais a direita indica uma condição indiferente.<pre>x y z false false false truefalse false true falsefalse true false dtrue false false dfalse true true truetrue false true falsetrue true false falsetrue true true true</pre>A entrada é o conjunto<pre>\{false, false, false, false, true, true, true, true, true\}</pre>De pontos mapeados para '''true''' (a pré-imgem '''pt''' de '''true'''), e o conjunto<pre>\{false, true, false, true, false, false\}</pre>de pontos que nós não nos importamos, ou seja, conjunto de indiferentes. Podemos calcular a expansão da soma de produtos para esta função como pode ver a seguir.<pre>dcmin( [false, false, false], [false, true, true], [true, true, true], [false, true, false], [true, false, false]);</pre>Como mencionado acima, poderíamos muito bem ter representado a entrada como duas listas:<pre>dcmin( [[false, false, false], [false, true, true], [true, true, true]], [[false, true, false], [true, false, false]]);</pre>(O primeiro é mais legível, enquanto o último é mais consistente com a entrada para '''SumOfProductsExpansion'''). == '''Cálculos e Explorações''' == Nesta seção, vamos olhar para Problemas 2 e 6 da seção de computações e explorações do texto, e ver como podemos usar Maple para resolver alguns deles. Construa a tabela da função booleana de grau 3. '''Solução''' Primeiro, nós devemos notar que existem <math>2^{2^{3}}</math> funções booleana de grau 3, então a saída da nossa computação será longa. Podemos usar a função '''SumOfProductExpansion''' que desenvolvemos anteriormente para nos ajudar com esse cálculo. Lembre que a expansão da soma dos produtos, ou forma normal disjuntiva, da função booleana dará uma correspondência bijetiva entre funções booleanas e certas expressões booleanas. Embora haja um número infinito de expressões booleanas, há precisamente <math>2^{2^{n}}</math> formas normais disjuntivas com n variáveis, e elas estão em bijetiva correspondência com o conjunto de todas as funções boolenas de n variáveis, portanto essa é a conveniente representação de uso.Para gerar a lista inteira nós precisamos especificar todas as possibilidades distintas de listas de argumentos de '''SumOfProductsExpansion'''. Isso significa que nós devemos gerar o subconjunto do domínio de todas as funções boolenas de três variáveis. Agora, a função booleana f de três variáveis tem domínio igual a<pre>Dom3 := [false,false,false], [false,false,true], [false,true,false], [true,false,false], [true,false,true], [true,true,false], [false,true,true], [true,true,true];</pre>Podemos gerar esse subconjunto usando o procedimento '''powerset''' no pacote '''combinat'''. Portanto, devemos primeiro carregar o pacote '''combinat'''.<pre>with(combinat):</pre>Note o formulário de saída. Nós obtemos o conjunto dos conjuntos, enquanto nosso procedimento '''SumOfProductsExpansion''' requer uma expressão sequência de listas booleanas. Isso significa que precisamos usar a função '''op''' do Maple também. Agora podemos gerar a lista de funções booleanas em três variáveis usando um loop de '''for''' simples: Você pode querer escrever a saída para um arquivo para ter melhores condições de examiná-lo. Você pode fazer isso usando a função '''printf''' no lugar de '''print'''. Alternativamente, você pode usar as funções '''writeto''' ou '''appendto''' para redirecionar a saída Maple para um arquivo. Assim que estiver pronto, você pode restaurar a saída do terminal, emitindo a chamada<pre>writeto(terminal);</pre>Use a facilidade help do Maple para saber mais sobre essas funções, se necessário. Randomicamente, gere dez expressões de grau 4 e determine a média do número de passos para minimizá-los. '''Solução''' Há realmente duas partes para este problema: Primeiro, precisamos encontrar uma maneira de gerar expressões booleanas aleatórias. Em segundo lugar, temos de encontrar algum método de examinar o processo de minimização para que possamos contar os passos.Maple oferece uma solução fácil para a primeira parte do problema. No pacote '''logic''', existe um procedimento chamado '''randbool''' que gera uma expressão booleana aleatória. Uma vez que é parte do pacote de lógica, ele poderá ser definido antes de ser utilizado.<pre>with(logic):</pre>Para usar '''randbool''', você precisa especificar um alfabeto sobre o qual construir expressões booleanas. Por exemplo, para gerar uma expressão booleana aleatória no símbolos '''a''' e '''b''', você pode digitar<pre>randbool(a,b);</pre>ou<pre>randbool([a,b]);</pre>Ou seja, o alfabeto pode ser especificado como um conjunto ou como uma lista. Note que os resultados das duas chamadas acima são diferentes - as expressões são geradas randomicamente. (Isso é verdade mesmo após o '''restart'''. Você pode tentar isso também, mas não se esqueça de carregar o pacote '''logic''' novamente). Agora, para gerar dez expressões booleanas aleatórias, podemos simplesmente usar um “loop” '''for''':<pre>for i from 1 to 10 do randbool(a,b);od;</pre>Note também que as expressões são gerados na forma normal disjuntiva, isto é, uma soma de produtos de expansão. Também é possível especificar um segundo argumento '''randbool''' de que afeta a forma das expressões geradas. O segundo argumento pode ser qualquer um entre os valores '''DNF''', '''CNF''' ou '''MOD2''', assim como o procedimento '''canon''' que nos conhecemos antes.<pre>randbool(x,y,z, CNF);randbool(u,v, MOD2);</pre>Tendo resolvido a primeira parte do problema, precisamos encontrar uma maneira de contar o número de passos dados durante o processo de minimização. Existem três abordagens que podemos tomar para esta parte do problema.A primeira é a de medir o tempo necessário para executar um procedimento. Você já viu isso antes em capítulos anteriores.O segundo é a facilidade de rastreamento para monitorar o número de passos dados para executar uma minimização. Você pode rastrear um procedimento de bordo emitindo a chamada<pre>readlib(trace);</pre>Agora, se gerarmos um expressão aleatória booleana com quatro variáveis<pre>e := randbool(a,b,c,d);</pre>poderemos observar o número de passos necessários para simplificá-lo simplesmente chamando '''bsimp''' depois de rastreá-lo<pre>bsimp(e);</pre>O traçado de '''bsimp''' irá imprimir uma série de declarações do formulário B: = < algo >, que você pode contar. Nós não os temos mostrado aqui.O procedimento '''trace''' na verdade faz com que a execução de '''bsimp''' para imprimir mais informações do que precisamos. Algumas dessas informações podem ser ignorados para este problema. Cada instrução executada é impressa, como são os argumentos e valores de retorno de qualquer sub-rotinas chamadas. Nós queremos apenas contar o número de instruções executadas, de modo que a outra informação pode ser simplesmente ignorada.Para anular o efeito do procedimento '''trace''', você pode desfazer a função '''trace''' simplesmente com o procedimento '''untrace''':<pre>untrace(bsimp); # 'bsimp' deixará de ser rastreada</pre>Finalmente, para obter o máximo de informações, podemos definir a variável '''printlevel'''. A variável '''printlevel''' é um pouco confusa, ou seja, não se sabe se ela é global ou local. Como qualquer variável global, é visível no nível superior do Maple. No entanto, o seu valor é alterado cada vez que entra em uma estrutura de controle, como um loop, ou no corpo do procedimento e, em seguida, reseta para seu valor original depois de sair da estrutura. Normalmente, '''printlevel''' é definido como 1.<pre>Printlevel;</pre>Mas é possível atribuir um valor a '''printlevel''' que afetará o quanto é impresso dentro das estruturas de controle.<pre>for i from 1 to 5 do sqrt(i);od;</pre>Experimente o ciclo anterior depois de definir o valor de '''printlevel''' para algo como 16. Cada nível aninhado de invocação do procedimento '''printlevel''' é decrementado por 5. Assim, a criação '''printlevel''' a 6 no nível superior é muito parecido com o rastreamento (usando '''trace''') de todos os procedimentos do Maple.Para fazer Maple mostrar o que se está fazendo a ainda maiores níveis de chamadas de função, simplesmente defina '''printlevel''' para um valor alto.<pre>for i from 1 to 5 do sqrt(sin(abs(i)));od;</pre>Por razões tipográficas, a volumosa produção foi suprimida neste manual impresso, mas você pode ver os resultados espetaculares na tela do computador. Tente fazer esse último exemplo com '''printlevel''' definindo um valor muito grande como 100000.Agora, para realmente ver o que está acontecendo quando você invocar '''bsimp''' para minimizar a expressão booleana, você pode definir '''printlevel''' a um enorme valor, e observar os resultados.<pre>with(logic): # esteja certo que 'bsimp' está definidae := x &and y &or ¬ z;bsimp(e);</pre>Para interpretar os resultados de saída, é aconselhável ser capaz de olhar para o código-fonte do procedimento '''bsimp''' e as sub-rotinas da biblioteca que ele chama. Você pode fazer isso emitindo o seguinte<pre>interface(verboseproc = 2);eval(bsimp); # assuma 'bsimp' carregada</pre>Isso mostra o código fonte real para a função '''bsimp''', embora comentários estão faltando. (Não pode haver comentários porque Maple desmonta o código objeto na biblioteca do Maple, a partir do qual a compilação foi despojado de todos os comentários, para produzir o código de Maple que você vê aqui).Para entender a saída, você deve perceber que o Maple não fornece acesso a operações de nível de bits, de modo que o algoritmo usado em '''bsimp''' é um pouco diferente do que a descrita em seu livro. Em vez de cadeias de bits, Maple usa conjuntos para representar expressões booleanas.Com essas ferramentas em mãos, agora você pode escrever um procedimento para gerar, aleatoriamente, dez expressões booleanas em quatro variáveis, e contar o número de passos necessários para minimizar cada um, finalmente a tomar uma média. == '''Exercícios e Projetos''' == 01) Use o Maple para verificar a Lei DeMorgan e as leis de comutatividade e associatividade: .: Leis de DeMorgan :. Equivalent(`¬`(`&or`(A, B)), `&and`(`¬`(A), `¬`(B))); true Equivalent(`¬`(`&and`(A, B)), `&or`(`¬`(A), `¬`(B))); true .: Comutatividade :. Equivalent(`&and`(A, B), `&and`(B, A)); true Equivalent(`&or`(A, B), `&or`(B, A)); true .: Associatividade :. exp1 := `&and`(A, `&and`(B, C)); exp2 := `&and`(`&and`(A, B), C); Equivalent(exp1, exp2); true exp3 := `&or`(A, `&or`(B, C)); exp4 := `&or`(`&or`(A, B), C); Equivalent(exp3, exp4); true 02) Use Maple para construir as tabelas verdades para cada um dos seguintes pares de expressões booleanas. a) a -> b and b -> a with(Logic): TruthTable(((a &implies b)&and(b &implies a)), [a,b], output = Matrix); table([ (true, true) = true, (false, true) = false, (false, false) = true, (true, false) = false ]) b) a -> ¬b and b -> ¬a with(Logic): TruthTable(`&and`(`&implies`(a, `¬`(b)), `&implies`(b, `¬`(a))), [a, b], output = Matrix); table([ (true, true) = false, (false, true) = true, (false, false) = true, (true, false) = true ]) c) a + (b(¬c)) and (a + b +d)(a + c + d) with(Logic): TruthTable(`&and`(`&or`(a, `&and`(b, `¬`(c))), (`&or`(`&or`(a, b), c))*(a+c+d)), [a, b, c, d], output = Matrix); table([ (false, false, true, true) = false, (true, false, false, true) = false, (false, false, false, false) = false, (true, false, true, true) = false, (false, false, false, true) = false, (true, true, false, true) = false, (false, false, true, false) = false, (true, true, false, false) = false, (true, false, false, false) = false, (false, true, true, false) = false, (true, true, true, true) = false, (false, true, true, true) = false, (true, true, true, false) = false, (false, true, false, false) = false, (true, false, true, false) = false, (false, true, false, true) = false ]) == Referências ==[http://www.mhhe.com/math/advmath/rosen/r5/student/ch10/maple.html Maple: Chapter 10. Boolean Algebra, Kenneth H. Rosen]
