=====1. Dado um inteiro positivo ''n'', encontre a probabilidade de selecionar seis inteiros do conjunto {<math>1, \cdots , n</math>} que foram mecanicamente selecionados em uma loteria. =====
'''Solução'''
Nós seguiremos o exemplo 4 no texto. O número total de maneiras de escolher 6 números de '''n''' números é <math>C(n, 6)</math>, que pode ser encontrado com o procedimento ''numbcomb'' no pacote ''combinat''. Isso nos dá o número total de possibilidades, onde apenas uma irá vencer.
'''''Lottery := proc(n::posint) '''''
=====2. Dados inteiros positivos ''n'' e ''r'', liste todas as r-combinações, com repetições permitidas, do conjunto .=====
'''Solução'''
A função ''choose'' do Maple (no pacote ''combinat''), vai listar todas as r-combinações de, mas sem repetições. Portanto nós não podemos usá-la diretamente. Entretanto, digamos que queremos todas as 2-combinações de, com repetições.
Isso quer dizer que junto com , e , nós também queremos incluir, e . Nós queremos ser capazes de escolher cada número até 2 vezes. (Nós dizemos que podemos repetir um elemento qualquer número de vezes, mas na prática, já que nós apenas podemos escolher 2 coisas no total, nós só precisamos permitir cada número aparecer no máximo 2 vezes.) Então outra forma de olhar o problema é dizer que queremos todas as 2-combinações, sem repetição, do conjunto. Em geral, então, nós podemos encontrar todas as r-combinações de com repetição pedindo por todas as r-combinações, onde cada elemento aparece '''r''' vezes.
=====3. Encontre o número de resultados possíveis em uma partida de dois times quando o vencedor é o primeiro time a ganhar 5 de 9, 6 de 11, 7 de 13 ou 8 de 15 jogos.=====
'''Solução'''
Nossa solução vai usar o procedimento Maple chamado ''permute'' para computar o número total de maneiras que um torneio de jogos pode ser jogado. Vamos começar construindo duas listas que observa como cada um dos dois times pode ganhar. Nós iremos atribuir as duas do time 1 vencendo o torneio sem nenhuma derrota, e o time 2 vencendo o torneio sem nenhuma derrota. A cada iteração do loop principal do algoritmo, vamos computar as permutações possíveis de jogos a serem jogados, notando que a ordem de vitórias é importante para nós. Após essas permutações serem calculadas, nós vamos aumentar o número de jogos que o torneio dura (ou seja, permite o eventual time perdedor do torneio a vencer um jogo adicional). Isso é equivalente a usar um diagrama de árvore para computar os resultados possíveis. O loop externo (''while'') corresponde ao nível de vértices na árvore, e o loop interior (for) itera sobre todos os jogos naquele nível.
A implementação Maple dessa descrição é mostrada abaixo.
=='''Exemplos Extras'''==
==='''Exemplos extras da seção 4.1'''=======Exemplo 4.1.1===='''EXEMPLO (E1, pag 302)'''Há 3 voos disponiveis de Indianapolis para St.Louis e, independentemente de quais desses voos será escolhidos, há 5 voos disponiveis de St.Louis para Dallas.De quantas maneiras uma pessoa pode voar de Indianapolis para St.Louis para Dallas? '''Solução:(pág 302)''' Uma vez que existe 3 maneiras para fazer a primeira parte da viajem e 5 maneiras de continuar com a segunda parte da viagem, independentemente de qual vôo for feita para a primeira etapa da viagem, pela regra do produto há 3 x 5 =15 maneiras de fazer toda a viagem.
'''EXAMPLE (E2, pag 302)'''Um certo tipo de botao de uma fechadura de porta exige que voce insira um codigo antes que a fechadura abra[[Exemplo 4.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.1 - Solução]]
(a) Se voce escolher um código ====Exemplo 4.1.2====''Um certo tipo de entrada que consiste botao de uma sequencia fechadura de 4 digitosporta exige que voce insira um codigo antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes, com números repetidos permitidos, quantos códigos numerados de entrada são possíveis?1 a 5.''
''(ba) Se voce escolher um código de entrada que consiste de uma sequencia de 4 digitos, sem repetir os com númerosrepetidos permitidos, quantos códigos de entrada são possíveis?''
'''Solução:''' (ab) Precisa-se preencher os espaços em branco, e cada espaço pode ser preenchido com qualquer Se voce escolher um dos 5 dígitos 1,2,3,código de entrada que consiste de uma sequencia de 4digitos,5. Pela regra do produto geralsem repetir os números, resolvemos com 5^4=625 maneiras.quantos códigos de entrada são possíveis?''
(b) Precisa-se preencher os espaços em branco,mas cada espaço deve ser preenchido com inteiros diferentes de [[Exemplo 4.1 a 5.Usando a regra do produto pode ser aplicado 5! = 5x4x3x2 = 120 maneiras.2 - Solução]]
====Exemplo 4.1.3===='''EXAMPLE (E3, page 302)'''Conte os numeros de instruções de impressão nesse algoritmo:
<nowiki>
de i=1 até n
de k=1 ate n
print hello
fim </nowiki>''
'''Solução:''' Para cada valor de i,tanto o laço do 'j' como o do 'k' sao executados[[Exemplo 4. Assim a cada i, o número de declarações de impressão executado é 2Xn .Portanto o numero total de instruções de impressao executados é 2xn² 1.3 - Solução]]
====Exemplo 4.1.4===='''EXEMPLO (E4, page 302)'''Conte os numeros de instruções de impressão nesse algoritmo:
<nowiki>
de i=1 até n
de k=i+1 ate n
print hello
fim </nowiki>''
'''Solução:''' Para cada valor de i,tanto o laço do 'j' como o do 'k' sao executados[[Exemplo 4. Assim a cada laço do i, o número de declarações de impressão executado é i no primeiro laço mais n-i no segundo laço1. Portanto para cada i, o numero de impressoes é i + (n4 -i) = n.Solução]]
====Exemplo 4.1.5===='''EXEMPLO (E5, pag 306)'''Encontre o numero de palavras com 10 letras sem repeti-las:''
''(a) que não tenha vogais.''
''(b) que começam com uma vogal.''
''(c) que tenha C e V nas extremidades (em qualquer ordem).
''(d) que tenha vogais nas duas primeiras posições.
'''Solução:'''Para resolver o problema é ter em mente uma fila de dez espaços em branco :a) Cada um dos 10 espaços em branco da cadeia deve conter [[Exemplo 4.1 das 21 consoantes,sem repeti.5 -las.Pela regra do produto: 21 X 20 X 19 X 18 X ... X 12.Solução]]
b)Existem 5 possibilidades da primeira letra ser uma vogal====Exemplo 4.1.Se a vogal for colocada no primeiro espaço 6====''10 homens e 10 mulheres estão em branco existem 25 maneiras para preencher no segundo espaço,24 maneiras de preencher o terceiro espaço,etc . 5 x 25 x 24 x 23 x ... x 18 x 17.uma fila:
c)Primeiramente contamos o número de maneiras de preencher os 10 espaços começando com C e terminando com V,o numero de manerias de preencher as oito letras restantes é 24 x 23 x ... x 18 x 17;<nowiki> C _ _ _ _ _ _ _ _ V</nowiki>Da mesma forma,o número de palavras,porem agora,começando com V e terminado com C, 24 x 23 x ... x 18 x 17;<nowiki> V _ _ _ _ _ _ _ _ C</nowiki>Logo,pela regra da soma : <nowiki> ''(24 x 23 x ... x 18 x 17a) + (24 x 23 x Encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila... x 18 x 17) = = 2 x (24 x 23 x ... x 18 x 17)</nowiki>
d''(b) Primeiramente vamos contar o número de maneiras de colocar as vogais nos dois primeiros espaços em branco.Podemos escolher qualquer uma das 5 vogais para Encontre quantas possibilidades pode ser formada a primeiro espaço e das 4 vogais restantes para o 2 espaço : 5 x 4=20 maneiras de colocar fila se duas vogais nas duas primeiras posições.pessoas do mesmo sexo não podem ficar lado a lado;
Em seguida''(c) Encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila se Beryl, vamos preencher os 8 espaços restantes com 24 letras que faltam.Sendo feito da seguinte forma : 24 x 23 x ... x 18 x 17 maneirasCarol, e Darryl querem ficar juntas nesta sequencia (Carol, Beryl, and Darryl; ou Darryl, Beryl, e Carol).
[[Exemplo 4.1.6 - Solução]]
Portanto, ====Exemplo 4.1.7====''Encontre o número de maneiras de colocar vogais nois dois primeiros espaços e oito palavras 10 letras nos restantes dos espaços é: 5 x 25 x 24 x 23 x ... x 18 x 17
''(a) Não contenha vogais.
'''EXAMPLE (E6, page 306b)'''10 homens e 10 mulheres estão em Começar com uma fila:vogal.
''(ac) encontre quantas possibilidades pode ser formada a filaTer vogais nas duas primeiras posições.
''(bd) encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila se duas pessoas do mesmo sexo não podem ficar lado a lado;Começar com C e terminam com V.
''(ce) encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila se Beryl, Carol, e Darryl querem ficar juntas nesta sequencia (Carol, Beryl, and Darryl; Começar com C ou Darryl, Beryl, e Carol)terminar com V.
'''SoluçãoPara resolver o problema é ter em mente uma fila de dez espaços em branco :'''
a)Há 20 pessoas;Portanto eles podem ser colocados em uma fila: 20 x 19 x 18 x..[[Exemplo 4.1.x 1 = 20! 7 - Solução]]
b)se duas pessoas do mesmo sexo não podem ficar lado a lado;Entao há dois padroes possiveis, usando M para Masulino e F para Feminino: <nowiki> MFMFMFMFMFMFMFMFMFMF e FMFMFMFMFMFMFMFMFMFM===Exemplos da Seção 4.</nowiki> Se contar o numero de maneiras de se obter a primeira possibilidade, dobramos ela para chegarmos ao resultado final.O Primeiro homem pode ser escolhido em 10 maneiras, a Primeira mulher pode ser escolhida de 10 Maneiras, o homem Segundo pode ser escolhido de 9 maneiras, etc.Assim,pela regra do produto temos :10 x 10 x 9 x 9 x ... x 2 x 2 x 1 x 1 ou (10!)² maneiras.===
c)Considerando primeiro os arranjos onde Beryl,Carol e Darryl ficam um ao lado do outro,nessa ordem===== Exemplo 4.Colocando as outras 17 pessoas na fileira.o que pode ser feito em 17! Maneiras.Nao importa como as 17 pessoas sao colocadas na fila,Beryl,Carol e Darryl,pode ser inserido,nessa ordem,entre duas das 17, ou então colocado em uma das duas extremidades2.1 =====
No entanto, uma vez ''Provar que escolher um local para colocar Beryl, Carol, e Darrylem qualquer grupo de três números inteiros positivos, existem 3! = 6 maneiras de colocar Berylpelo menos dois, Carol, e Darryl nesse ponto --- BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCBcuja a soma é par. (Pág. 314)''
Portanto, a resposta é obtida colocando os outros 17 em uma fileira; escolher um dos 18 pontos para Beryl, Carol, e Darryl; e organizar os três em um local (em 3! maneiras)[[Exemplo 4. Assim, a resposta é: 17! x 3!2.1 - Solução]]
'''EXEMPLO (E7, página 308)'''Encontre o número de palavras 10 letras :===== Exemplo 4.2.2 =====
''Se forem escolhidos inteiros positivos aleatoriamente, qual é o número mínimo que podemos garantir que dois dos números escolhidos sejam congruentes módulo 6. (apág 314) não contenha vogais.''
(b) começar com uma vogal[[Exemplo 4.2.2 - Solução]]
(c) ter vogais nas duas primeiras posições===== Exemplo 4.2.3 =====
''Prove que em qualquer conjunto de 700 palavras em inglês, deve haver pelo menos duas que começam com o mesmo par de letras (dna mesma ordem) começar com C , por exemplo, ST OP e terminam com VSTAndard.(pág 314)''
(e) começar com C ou terminar com V[[Exemplo 4.2.3 - Solução]]
Para resolver o problema é ter em mente uma fila de dez espaços em branco :===== Exemplo 4.2.4 =====
a) ''Cada tipo de peça de uma máquina feita em uma fábrica é carimbada com um dos 10 espaços em branco da cadeia deve conter 1 das 21 consoantescódigo do formulário de letter-digit-digit,como podemos repeti-lasonde os dígitos podem ser repetidos.Pela regra do produto: 21 X 21 X 21 X 21 X Prove que, se 8000 peças são feitas, então, pelo menos, quatro delas devem ter o mesmo código carimbadas.(pág.. X 21 = 21^10 ; 315)''
b)Há cinco opções para uma vogal ser colocada na primeira posição, e não há restrições sobre os outros nove letras,por isso : 5 x 26^9 [[Exemplo 4.2.4 - Solução]]
c)Se essas vogais ===== Exemplo 4.2.5 =====''Cada aluno é classificado como um membro de uma das seguintes classes: Freshman, Sophomore, Junior, Senior. Encontrar o número mínimo de estudantes que devem estar nas duas primeiras posições e as letras podem ser repetidasescolhidos de modo a garantir que, obtém-se o produto: 5² x 26^8 pelo menos, oito pertencem à mesma classe.(pág. 315)''
d)Se a palavra tem a forma : C[[Exemplo 4.2...V existem 26 maneiras para preencher cada uma dos oito espaços. Portanto, há 26^8 palavras desta forma.5 - Solução]]
e)Precisa-se usar o princípio da inclusão-exclusão para evitar ===Exemplos adicionais relativos a dupla contagemSeção 4.Sendo A¹ o conjunto de todas as palavras com 10 letras que começam com C e A² o conjunto de todas as palavras com 10 letras que terminam com V: A¹ U A² 3== |A¹|+|A²| - |A¹ n A²| = 26^9 + 26^9 - (26^8);
===Exemplos da Seção 4.2==='''EXEMPLO (E1, pág 314)Exemplo 4.3.1'''Provar que em qualquer grupo de três números inteiros positivos, existem pelo menos dois, cuja a soma é par.
'''SoluçãoUma classe tem 30 alunos matriculados. De quantas maneiras pode-se:'''Considere dois compartimentos, classificado em Par e Ímpar. Se três inteiros positivos são colocados nestes compartimentos, um deles deve ter pelo menos dois inteiros (digamos A e Bpág 321) no mesmo compartimento. Assim, A e B são ou ambos par ou impar. Em ambos os casos, A + B é PAR.
'''EXEMPLO (E2, pág 314a)'''Se forem escolhidos inteiros positivos aleatoriamente, qual é o número mínimo que podemos garantir que dois dos números escolhidos sejam congruentes módulo 6.Colocar 4 alunos em uma fila para uma foto?
'''Solução:'''Para que A e B serem congruentes módulo 6, temos de ter a mod 6 = (b mod 6. Mas existem 6 possibilidades ) Colocar todos os 30 alunos em uma fila para x mod 6: 0, 1, 2, 3, 4, ou 5. Portanto, 7 inteiros positivos devem ser escolhidos de modo a garantir que, pelo menos, dois sejam congruentes módulo 6.uma foto?
'''EXEMPLO (E3, página 314c)'''Prove que em qualquer conjunto de 700 palavras Colocar todos os 30 alunos em inglês, deve haver pelo menos duas que começam com o mesmo par filas de letras (na mesma ordem), por exemplo, ST OP e STAndard.15 cada para uma foto?''
'''Solução:'''O número de possíveis pares de letras que podem aparecer nas duas primeiras posições é 26 x 26=676[[Exemplo 4.Assim, qualquer conjunto de 677 ou mais palavras deve ter pelo menos duas palavras com o mesmo par de letras no início da palavra3.1 - Solução]]
(OBS:'''Exemplo 4. Na realidade, o número 700 pode ser substituída com um número muito menor, uma vez que muitas combinações de letras não aparecem como as duas primeiras letras de uma palavra, por exemplo, não há palavras inglesas que começam com NQ, RR, ou TZ)3.2 '''
''Um certo tipo de botão de uma fechadura de porta exige que você insira um código antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.O bloqueio é programado para reconhecer seis códigos de 4 dígitos diferentes, podendo repetir os algarismos de cada código. Quantos conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis existem?(pág 324)''
'''EXEMPLO (E4, página 315)'''Cada tipo de peça de uma máquina feita em uma fábrica é carimbada com um código do formulário de letter-digit-digit, onde os dígitos podem ser repetidos[[Exemplo 4. Prove que, se 8000 peças são feitas, então, pelo menos, quatro delas devem ter o mesmo código carimbadas3.2 - Solução]]
'''Solução:'''
O numero de codigos possiveis 26 x 10 x 10 = 2600. Desde que,8000 > 3 x 2600,pelo menos 4 tenham o mesmo codigo.
'''Exemplo 4.3.3 (pág 324)'''
'''EXEMPLO (E5, página 315)'''Cada aluno é classificado como um membro de uma das seguintes classes: Freshman, Sophomore, Junior, Senior. Encontrar o número mínimo de estudantes que devem ser escolhidos de modo a garantir que, pelo menos, oito pertencem à mesma classe..
'''Solução:'''De um grupo de 28 estudantes podem ser 7 pertencentes a cada classe[[Exemplo 4.Mas se há 29 estudantes, pelo menos 8 devem ser membros da mesma classe.Portanto, o número mínimo de estudantes que deve ser escolhido é de 293.3 - Solução]]
Em outras palavras, nós estamos olhando para o número mínimo N tal que <math>|\frac{N}{'''Exemplo 4} | = 8</math>. O numero minimo é 293.4'''''Quantas maneiras existem de escolher uma comissão de cinco pessoas consistindo de três mulheres e dois homens de um grupo de dez mulheres e sete homens?(pág 324)''
===Exemplos adicionais relativas a Seção [[Exemplo 4.3==='''EXEMPLO (E1, pág 321)'''Uma classe tem 30 alunos matriculados. De quantas maneiras pode4 -se:Solução]]
(a) Colocar '''Exemplo 4 alunos em uma fila para uma foto?.3.5 '''
''Sendo o conjunto S = {1,2,3,...,19}. Encontre o número de subconjuntos de S com numeros iguais de inteiros pares e impares.(bpág 324) Colocar todos os 30 alunos em uma fila para uma foto?''
(c) Colocar todos os 30 alunos em duas filas de 15 cada para uma foto?[[Exemplo 4.3.5 - Solução]]
'''Solução:Exemplo 4.3.6 '''(a) Precisamos preencher a seguinte linha de quatro espaços em branco: 30 x 29 x 28 x 27. Este é o número de permutações de 4 a partir de um conjunto de 30, que é P( 30 ,4 );
(b)A resposta pode ser visualizado como o número ''Encontre maneiras de dividir um baralho de maneiras para preencher uma fila com 30 lacunas com os 30 estudantes52 cartas, que é 30! , ou Pem:( 30, 30 pág 324);''
(c''a) Podemos ver que o número de maneiras para preencher Em 4 pilhas iguais, classificado em duas filasA,é cada uma com 15 espaços em brancoB,C, com os alunos 30:D;
Podemos então, começar por preencher a linha de inferior, o que pode ser feito de 30 x 29 x 28 x … x 17 x 16 maneiras. ''b)Em seguida, preencher linha superior4 pilhas iguais, que pode ser feito de 15! = 15 x 14 x 13… x 2 x 1 maneiras. Portanto a resposta é (30 x 29 x 28 x … x 17 x 16) x (15 x 14 x 13 x … x 2 x 1) = 30!sem classificação;''
'''EXEMPLO (E2, página 324)'''Um certo tipo de botão de uma fechadura de porta exige que você insira um código antes que a fechadura abra[[Exemplo 4.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.O bloqueio é programado para reconhecer seis códigos de 4 dígitos diferentes, podendo repetir os algarismos de cada código3. Quantos conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis existem?6 - Solução]]
'''Solução:Exemplo 4.3.7 '''Há 5⁴=625 possíveis códigos com quatro dígitos. Portanto, há C(625,6) conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis.EXEMPLO (E3, página 324)…..
'''EXAMPLE Suponha que S = {1,2, . . ., 25} . Encontre o numero de subconjuntos de tamanho 5,tal que T:(E4, page pág 324)'''Quantas maneiras existem de escolher uma comissão de cinco pessoas consistindo de três mulheres e dois homens de um grupo de dez mulheres e sete homens?
'''Solução:''' O número de maneiras de escolher três mulheres é C( 10,3 a) e o numero de maneiras consista de escolher 10 homens é C(7,2).Usando a regra do produto para escolher três mulheres numeros impares e dois homens é C( 10,3 ) x C(7,2) = 2,520numeros pares.
''b) consiste de exatamente três números primos.
'''EXEMPLO (E5, page 324c)'''Sendo o conjunto S = {1,2,3,...tenha a soma dos seus elementos,19}. Encontre o número de subconjuntos de S com numeros iguais de inteiros pares e imparesmenor que 20.
'''Solução:'''Note que, existem 10 inteiros ímpares e 9 inteiros pares em S. Os subconjuntos a serem contados deve consistir de k inteiros ímpares e k inteiros pares, onde k=1,2,3,...,9. Portantod) tem, pela regra do produtopelo menos, o um número de cada tipo é C(10, k) x C(9,k)par na mesma. Portanto, pela regra da soma, a resposta é C(10, k) x C(9,k) + C(10, k) x C(9,k)''
[[Exemplo 4.3.7 - Solução]]
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.4===
'''Exemplo 4.4.1 '''
''Escreva a expansão de (x+2y)³. (pág 328)''
'''EXEMPLO (E6, page 324)'''Encontre maneiras de dividir um baralho de 52 cartas, em:[[Exemplo 4.4.1 - Solução]]
a)Em '''Exemplo 4 pilhas iguais, classificado em A,B,C,D;.4.2 '''
''Encontre o coeficiente <math>a^{17}b^{23}</math> na expansão de <math>(3a-7b)Em 4 pilhas iguais, sem classificação;^{40}</math>. (pág 328)''
'''Solução:'''a) Cada pilha deve conter 52/[[Exemplo 4 = 13 cartas. Na sequencia, empilharemos A,em seguida B, depois C, e finalmente D4. Então teremos C(52,13) maneiras de obter a pilha de A, C(39,13) maneiras de obter a pilha de B, C(26,13) maneiras de obter a pilha de C, e C(13,13)=1 maneiras de obter a pilha de D.Portanto pela regra do produto,teremos :C(52,13) x C(39,13) x C(26,13) x C(13,13) = <math>\frac{52!}{13!.29!} .\frac{39!}{13!.26!} .\frac{26!}{13!.13!} .\frac{13!}{13!.0!} = \frac{52!}{(13!)^4} </math>2 - Solução]]
b) Se nas '''Exemplo 4 pilhas não houver classificação,então podemos permutar as quatro pilhas em 4! Maneiras. Daí a resposta é a mesma do iten anterior dividido por 4!:<math>\frac{C(52,13).C(39,13).C(26,13).C(13,13)}{4!} = \frac{52!}{(13!)^4.4!}</math>3 '''
''Escreva a expansão de <math>(x^2-\frac{1}{x} )^8</math>. (pág 328)''
'''EXEMPLO (E7, page 324)'''[[Exemplo 4.4.3 - Solução]]
Supunha que S = {1,2, ==Exemplos adicionais relativas a Seção 4. 5==='''Exemplo 4. ., 25} . Encontre o numero de subconjuntos de tamanho 5,tal que T: a) consista de 2 numeros impares e 3 numeros pares.1 '''
b) consiste ''Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos: chocolate, geleia, açúcar, manteiga de exatamente três números primosamendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos.Assumindo que a padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de biscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher: (pág 338)''
c''a) tenha a soma dos seus elementos, menor que 20.Ao menos 3 biscoitos de chocolate e pelo menos 6 biscoitos de manteiga de amendoim
d''b) tem, pelo menos, um número par na mesma.Exatamente 3 biscoitos de chocolate e exatamente 6 biscoitos de manteiga de amendoim
''c) No máximo 5 biscoitos de açúcar
'''Solução:'''a) Há 13 numeros impares; podemos escolher dois em C(13,2) maneiras.Há 12 numeros pares; podemos escolher 3 em C(12,3d) maneiras. Usando a regra do produto para encontrar o número Pelo menos um dos quatro tipos de subconjuntos T, temos subconjuntosbiscoitos.''
b) Os numeros primos em S são 2,3,[[Exemplo 4.5,7,11,13,17,19, and 23, então temos C(9,3) maneiras de selecionar 3 desses numeros.Mas também precisa selecionar 2 dos 16 números compostos para fazer T ter tamanho cinco;então C(16,2) maneiras para isso.Portanto pela regra do produto temos C(9,3) x C(16,2)=10.080 subconjuntos possiveis T.1 - Solução]]
c) Há poucos subconjuntos com esta propriedade. Então é melhor neste caso, contar diretamente o conjunto de cinco números cuja soma é inferior a 20:
1,2,3,4,5, 1,2,3,4,6, 1,2,3,4,7,
1,2,3,4,8, 1,2,3,4,9, 1,3,4,5,6.
Assim, existem seis desses subconjuntos possiveis.
d) É mais fácil para contar o número total de subconjuntos de tamanho '''Exemplo 4.5, e depois subtrair o número de subconjuntos sem números pares neles:<math>C(25, 5)-C(13,5) = 51,843</math>.2 '''
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.4==='''EXEMPLO Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED? (E1, página 328pág 339)'''Escreva a expansão de (x+2y)³.
'''[[Exemplo 4.5.2 - Solução:'''pelo teorema binomial:<math>(x+2y)^3 = \binom{3}{0} x^3(2y)^0+\binom{3}{1} x^2(2y)^1+\binom{3}{2} x^1(2y)^2+\binom{3}{3} x^0(2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3</math>]]
'''EXEMPLO (E2, page 328)'''
Encontre o coeficiente <math>a^{17}b^{23}</math> na expansão de <math>(3a-7b)^{40}</math>.
'''Solução:Exemplo 4.5.3'''Expandindo <math>(3a-7b)^{40}</math> usando o teorema binomial, localizamos o termo com o produto <math>a^{17}b^{23}</math>, e então encontramos o coeficiente:
<math>''Um frasco contém 30 moedas de 1 centavo, 20 moedas de 5 centavos, 20 moedas de 10 centavos, e 15 moedas de 25 centavos. (3a-7bAs moedas de cada denominação são consideradas idênticas.)^{40} = (3a+(-7b)pág 339)^{40}</math>''
= <math>\cdots + \binom{40}{17} ''(3aa)^{17}(-7b)^{23} + \cdots</math>= <math>\cdots + \binom{40}{17} 3^{17}(-7)^23a^{17}b^{23} + \cdots</math>Encontre o número de maneiras de colocar todas as 85 moedas em uma fileira.
Assim, ''(b) Encontre o coeficiente número de <math>a^{17}b^{23}</math> é <math>\binom{40}{17} 3^{17}(-7)^{23}</math>, que também pode ser escrito como <math>\binom{40}{23} 3^{17}(-7)^{23}</math>possíveis ‘punhados’ de 12 moedas.''
'''EXEMPLO (E3, page 328)'''Escreva a expansão de <math>(x^2[[Exemplo 4.5.3 -\frac{1}{x} )^8</math>Solução]]
'''Solução:'''
Usa-se o teorema binomial. Em seguida, várias regras exponenciais para simplificar os termos.
<math>(x^2-\frac{1}{x} )^8 = \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} (x^2)^i(\frac{-1}{x} )^{8-i}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} \frac{x^{2i}(-1)^{8-i}}{x^{8-i}}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} x^{3i-8}(-1)^{8-i}</math><math>= x^{-8}-8x^{-5}+28x^{-2}-56x^{1}+70x^{'''Exemplo 4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math><math>= \frac{1}{x^8} -\frac{8}{x^.5} +\frac{28}{x^2} -56x^{1}+70x^{.4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math>'''
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.5==='''EXEMPLO De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras de “CHEMISTS” em uma fila? (E1, page 338pág 339)'''Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos: chocolate, geleia, açúcar, manteiga de amendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de biscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher:
a) Ao menos 3 biscoitos de chocolate e pelo menos 6 biscoitos de manteiga de amendoim[[Exemplo 4.5.4 - Solução]]
b) Exatamente 3 biscoitos de chocolate e exatamente ===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.6 biscoitos de manteiga de amendoim==='''Exemplo 4.6.1'''
c''Coloque as seguintes permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, na ordem lexicográfica : (pág 345) No máximo 5 biscoitos de açúcar''
d) Pelo menos um dos quatro tipos de biscoitos. Solução: '''EXEMPLO (E2, page 339)'''Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED? '''Solução: '''Na palavra há dois ‘D’, três ‘E’, um ‘C’, um ‘I’ e um ‘V’. Portanto, o número de permutações de DECEIVED é: <math>\frac{8!}{2!.3!.1!.1!.1!} = \frac{8!}{2!.3!}</math> '''EXEMPLO (E3, page 339)'''Um frasco contém 30 moedas de 1 centavo, 20 moedas de 5 centavos, 20 moedas de 10 centavos, e 15 moedas de 25 centavos. (As moedas de cada denominação são consideradas idênticas.) (a) Encontre o número de maneiras de colocar todas as 85 moedas em uma fileira. (b) Encontre o número de possíveis ‘punhados’ de 12 moedas. '''Solução:'''(a) A resposta não é 85! uma vez que as moedas não são todos distintos. Pense no problema como um de fazer uma palavra com 30 p's, 20 n's, 20 d's, e 15 q's. Tendo em conta as cartas idênticas, temos<math>\frac{85!}{30!.20!.20!.15!}</math> (b) Quando se contar o número de ‘punhados’ de 12 moedas461325, estamos apenas preocupados com o número de cada denominação escolhida. Por exemplo326145, poderíamos escolher 9 moedas de 1 centavos516243, 2 de 5 centavos324165, e uma de 25 centavos461235, ou podemos escolher três de cada denominação. Assim324615, o número de um ‘punhados’ de 12 moedas é igual ao número inteiro não negativo de soluções para a equação:<math>p+n+d+q = 12462135</math>onde P é o número de moedas de 1 centavo, n é o número de moedas de 5 centavos, d é o número de moedas de 10 centavos, e q é o número de 25 centavos. O número de soluções para esta equação é:<math>C(15,3) = 455</math> '''EXEMPLO (E4, page 339)'''De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras de “CHEMISTS” em uma fila? '''Solução:''' Existem dois padrões a serem considerados: (a) 7 letras distintas são selecionados (ou seja, apenas um S é selecionado), e (b) os dois S serem selecionados. No primeiro teste padrão, existem 7! Maneiras de colocar as 7 letras distintas em uma fileira.
No segundo padrão, as sete letras selecionadas têm dois S’s, por isso há 7! / 2! Maneiras de colocar essas letras em uma fileira[[Exemplo 4. 6.1 - Solução]]
Adicionando os totais obtidos a partir dos dois casos, temos o número total de maneiras de colocar sete dos oito cartas em uma fileira:
<math>7!+6.\frac{7!}{2!}</math>
===Exemplos adicionais relativas a Seção '''Exemplo 4.6===.2'''EXEMPLO (E1, página 345)'''Coloque as seguintes permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, na ordem lexicográfica :
<math>461325''Encontre a permutação de 1, 3261452, 5162433, 3241654, 4612355, 324615, 462135</math>6 imediatamente após 263.541 em ordem lexicográfica. (pág 345)''
'''[[Exemplo 4.6.2 - Solução:'''Procedendo do menor ao maior, as permutações são:]]
<math>324165, 324615, 326145, 461235, 461325, 462135, 516243</math>
'''EXEMPLO (E2, página 345)Exemplo 4.6.3 '''Encontre a permutação de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente após 263.541 em ordem lexicográfica.
'''Solução:'''Os dígitos 5, 4, Encontre a permutação de 1 estão em ordem decrescente, por isso precisamos aumentar o dígito seguinte2, 3. Substitui-lo por , 4 e, em seguida5, colocar os dígitos restantes 6 imediatamente antes de 261.345 em ordem crescente, temos 264.1355lexicográfica.(pág 345)''
'''EXEMPLO (E3, página 345)'''Encontre a permutação de 1, 2, 3, [[Exemplo 4, 5, .6 imediatamente antes de 261.345 em ordem lexicográfica.3 - Solução]]
'''Solução:'''
Uma vez que os quatro últimos dígitos, 1345, estão em ordem crescente, a permutação que vem imediatamente antes deste deve ter um “5” na segunda posição e os quatro dígitos após o “5”, em ordem decrescente'''Exemplo 4. Assim, o antecessor de 261.345 é 256.4316.4 '''
'''EXEMPLO (E4, página 345)'''Se as permutações de 1,2,3,4,5,6 forem colocadas em ordem lexicográfica, com 123.456 na posição 1, 123.465 na posição 2, etc., encontrar a permutação na posição 362.(pág 345)''
'''[[Exemplo 4.6.4 - Solução:''']]
Existem 6! = 720 permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6. O primeiro 120 (isto é, as permutações em posições de 1 a 120) começa com um “1”, o segundo 120 (nas posições 121 a 240) começar com “2”, etc. Assim, a primeira permutação começando com “4”, 412,356, é na posição 361. Assim , a próxima permutação, 412.365, vai estar na posição 362.
'''EXEMPLO (E5, página 345)Exemplo 4.6.5 '''Se as permutações de 1,2,3,4,5 forem colocadas em ordem lexicográfica, em que posição estará a permutação 41253?
'''Solução:'Se as permutações de 1,2,3,4,5 forem colocadas em ordem lexicográfica, em que posição estará a permutação 41253? (pág 345)''
Existem [[Exemplo 4! = 24 permutações de 1, 2, 3, 4, 5 que começam com 1; estas permutações estão em posições de 1 a 24. Da mesma forma, as permutações em posições 25 a 48 começam com 2 e as permutações em posições 49 através de 72 começam com 3 . Assim, a primeira permutação começando com 4, 41235, está na posição 73. Por conseguinte 41253 está na posição 746.5 - Solução]]