[[Exemplo 4.1.1 - Solução]]
====Exemplo 4.1.2====
''Um certo tipo de botao de uma fechadura de porta exige que voce insira um codigo antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.''
'''EXAMPLE (E2, pag 302a)'''Um certo tipo Se voce escolher um código de botao entrada que consiste de uma fechadura sequencia de porta exige que voce insira um codigo antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes4 digitos, com números repetidos permitidos, numerados quantos códigos de 1 a 5.entrada são possíveis?''
''(ab) Se voce escolher um código de entrada que consiste de uma sequencia de 4 digitos, com sem repetir os números repetidos permitidos, quantos códigos de entrada são possíveis?''
(b) Se voce escolher um código de entrada que consiste de uma sequencia de [[Exemplo 4 digitos, sem repetir os números, quantos códigos de entrada são possíveis?.1.2 - Solução]]
'''Solução:''' (a) Precisa-se preencher os espaços em branco, e cada espaço pode ser preenchido com qualquer um dos 5 dígitos 1,2,3,4,5. Pela regra do produto geral, resolvemos com 5^====Exemplo 4=625 maneiras. (b) Precisa-se preencher os espaços em branco,mas cada espaço deve ser preenchido com inteiros diferentes de 1 a 5.Usando a regra do produto pode ser aplicado 5! 3=== 5x4x3x2 = 120 maneiras. '''EXAMPLE (E3, page 302)'''Conte os numeros de instruções de impressão nesse algoritmo:
<nowiki>
de i=1 até n
de k=1 ate n
print hello
fim </nowiki>''
'''Solução:''' Para cada valor de i,tanto o laço do 'j' como o do 'k' sao executados[[Exemplo 4. Assim a cada i, o número de declarações de impressão executado é 2Xn .Portanto o numero total de instruções de impressao executados é 2xn² 1.3 - Solução]]
====Exemplo 4.1.4===='''EXEMPLO (E4, page 302)'''Conte os numeros de instruções de impressão nesse algoritmo:
<nowiki>
de i=1 até n
de k=i+1 ate n
print hello
fim </nowiki> '''Solução:''' Para cada valor de i,tanto o laço do 'j' como o do 'k' sao executados. Assim a cada laço do i, o número de declarações de impressão executado é i no primeiro laço mais n-i no segundo laço. Portanto para cada i, o numero de impressoes é i + (n-i) = n. '''EXEMPLO (E5, pag 306)'''Encontre o numero de palavras com 10 letras sem repeti-las: (a) que não tenha vogais. (b) que começam com uma vogal. (c) que tenha C e V nas extremidades (em qualquer ordem).
(d) que tenha vogais nas duas primeiras posições[[Exemplo 4.1.4 - Solução]]
====Exemplo 4.1.5===='''Solução:'''Para resolver Encontre o problema é ter em mente uma fila numero de dez espaços em branco :a) Cada um dos palavras com 10 espaços em branco da cadeia deve conter 1 das 21 consoantes,letras sem repeti-las.Pela regra do produto: 21 X 20 X 19 X 18 X ... X 12.''
b''(a)Existem 5 possibilidades da primeira letra ser uma vogal.Se a vogal for colocada no primeiro espaço em branco existem 25 maneiras para preencher no segundo espaço,24 maneiras de preencher o terceiro espaço,etc . 5 x 25 x 24 x 23 x ... x 18 x 17que não tenha vogais.''
c''(b)Primeiramente contamos o número de maneiras de preencher os 10 espaços começando com C e terminando com V,o numero de manerias de preencher as oito letras restantes é 24 x 23 x ... x 18 x 17;<nowiki> C _ _ _ _ _ _ _ _ V</nowiki>Da mesma forma,o número de palavras,porem agora,começando com V e terminado que começam com C, 24 x 23 x ... x 18 x 17;<nowiki> V _ _ _ _ _ _ _ _ C</nowiki>Logo,pela regra da soma : <nowiki> (24 x 23 x ... x 18 x 17) + (24 x 23 x ... x 18 x 17) = = 2 x (24 x 23 x .uma vogal.. x 18 x 17)</nowiki>''
d''(c) Primeiramente vamos contar o número de maneiras de colocar as vogais nos dois primeiros espaços que tenha C e V nas extremidades (em branco.Podemos escolher qualquer uma das 5 vogais para a primeiro espaço e das 4 vogais restantes para o 2 espaço : 5 x 4=20 maneiras de colocar duas vogais nas duas primeiras posiçõesordem).
Em seguida, vamos preencher os 8 espaços restantes com 24 letras ''(d) que faltam.Sendo feito da seguinte forma : 24 x 23 x ... x 18 x 17 maneirastenha vogais nas duas primeiras posições.
[[Exemplo 4.1.5 - Solução]]
Portanto, o número de maneiras de colocar vogais nois dois primeiros espaços ====Exemplo 4.1.6====''10 homens e oito letras nos restantes dos espaços é10 mulheres estão em uma fila: 5 x 25 x 24 x 23 x ... x 18 x 17
''(a) Encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila.
'''EXAMPLE (E6, page 306b)'''10 homens e 10 mulheres estão em uma Encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila:se duas pessoas do mesmo sexo não podem ficar lado a lado;
''(ac) encontre Encontre quantas possibilidades pode ser formada a filase Beryl, Carol, e Darryl querem ficar juntas nesta sequencia (Carol, Beryl, and Darryl; ou Darryl, Beryl, e Carol).
(b) encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila se duas pessoas do mesmo sexo não podem ficar lado a lado;[[Exemplo 4.1.6 - Solução]]
(c) encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila se Beryl, Carol, e Darryl querem ficar juntas nesta sequencia (Carol, Beryl, and Darryl; ou Darryl, Beryl, e Carol)====Exemplo 4. 1.7====''Encontre o número de palavras 10 letras :
'''Solução:'''(a) Não contenha vogais.
a''(b)Há 20 pessoas;Portanto eles podem ser colocados em Começar com uma fila: 20 x 19 x 18 xvogal....x 1 = 20!
b''(c)se Ter vogais nas duas pessoas do mesmo sexo não podem ficar lado a lado;Entao há dois padroes possiveis, usando M para Masulino e F para Feminino: <nowiki> MFMFMFMFMFMFMFMFMFMF e FMFMFMFMFMFMFMFMFMFMprimeiras posições.</nowiki>
Se contar o numero de maneiras de se obter a primeira possibilidade, dobramos ela para chegarmos ao resultado final.O Primeiro homem pode ser escolhido em 10 maneiras, a Primeira mulher pode ser escolhida de 10 Maneiras, o homem Segundo pode ser escolhido de 9 maneiras, etc.Assim,pela regra do produto temos :10 x 10 x 9 x 9 x ... x 2 x 2 x 1 x 1 ou ''(10!d)² maneirasComeçar com C e terminam com V.
c''(e)Considerando primeiro os arranjos onde Beryl,Carol e Darryl ficam um ao lado do outro,nessa ordem.Colocando as outras 17 pessoas na fileira.o que pode ser feito em 17! Maneiras.Nao importa como as 17 pessoas sao colocadas na fila,Beryl,Carol e Darryl,pode ser inserido,nessa ordem,entre duas das 17, Começar com C ou então colocado em uma das duas extremidadesterminar com V.
No entanto, ''Para resolver o problema é ter em mente uma vez que escolher um local para colocar Beryl, Carol, e Darryl, existem 3! = 6 maneiras fila de colocar Beryl, Carol, e Darryl nesse ponto --- BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB. dez espaços em branco :
Portanto, a resposta é obtida colocando os outros 17 em uma fileira; escolher um dos 18 pontos para Beryl, Carol, e Darryl; e organizar os três em um local (em 3! maneiras)[[Exemplo 4. Assim, a resposta é: 17! x 3! '''EXEMPLO (E7, página 308)'''Encontre o número de palavras 10 letras : (a) não contenha vogais. (b) começar com uma vogal. (c) ter vogais nas duas primeiras posições. (d) começar com C e terminam com V. (e) começar com C ou terminar com V. Para resolver o problema é ter em mente uma fila de dez espaços em branco : a) Cada um dos 10 espaços em branco da cadeia deve conter 1 das 21 consoantes,como podemos repeti-las.Pela regra do produto: 21 X 21 X 21 X 21 X ... X 21 = 21^10 ; b)Há cinco opções para uma vogal ser colocada na primeira posição, e não há restrições sobre os outros nove letras,por isso : 5 x 26^9 c)Se essas vogais devem estar nas duas primeiras posições e as letras podem ser repetidas, obtém-se o produto: 5² x 26^8 d)Se a palavra tem a forma : C....V existem 26 maneiras para preencher cada uma dos oito espaços. Portanto, há 26^8 palavras desta forma. e)Precisa-se usar o princípio da inclusão-exclusão para evitar a dupla contagem.Sendo A¹ o conjunto de todas as palavras com 10 letras que começam com C e A² o conjunto de todas as palavras com 10 letras que terminam com V: A¹ U A² = |A¹|+|A²| - |A¹ n A²| = 26^9 + 26^9 7 - (26^8);Solução]]
===Exemplos da Seção 4.2===
===== Exemplo 4.2.1 =====
'''Provar que em qualquer grupo de três números inteiros positivos, existem pelo menos dois, cuja a soma é par. (pág Pág. 314)'''
[[Contagem: Exemplo 4.2.1 - Solução]]
===== Contagem: Exemplo 4.2.2 ====='''Se forem escolhidos inteiros positivos aleatoriamente, qual é o número mínimo que podemos garantir que dois dos números escolhidos sejam congruentes módulo 6. (pág 314)'''
[[Contagem: Exemplo 2 - Solução]]''Se forem escolhidos inteiros positivos aleatoriamente, qual é o número mínimo que podemos garantir que dois dos números escolhidos sejam congruentes módulo 6. (pág 314)''
===== Contagem: [[Exemplo 3 =====4.2.2 - Solução]]
Prove que em qualquer conjunto de 700 palavras em inglês, deve haver pelo menos duas que começam com o mesmo par de letras (na mesma ordem), por exemplo, ST OP e STAndard===== Exemplo 4.(pág 314)2.3 =====
[[Contagem: Exemplo 3 - Solução]]''Prove que em qualquer conjunto de 700 palavras em inglês, deve haver pelo menos duas que começam com o mesmo par de letras (na mesma ordem), por exemplo, ST OP e STAndard.(pág 314)''
[[Exemplo 4.2.3 - Solução]]
'''EXEMPLO (E4, página 315)'''Cada tipo de peça de uma máquina feita em uma fábrica é carimbada com um código do formulário de letter-digit-digit, onde os dígitos podem ser repetidos===== Exemplo 4. Prove que, se 8000 peças são feitas, então, pelo menos, quatro delas devem ter o mesmo código carimbadas2.4 =====
'''Solução:'''O numero Cada tipo de peça de uma máquina feita em uma fábrica é carimbada com um código do formulário de codigos possiveis 26 x 10 x 10 = 2600letter-digit-digit, onde os dígitos podem ser repetidos. Desde Prove que,se 8000 > 3 x 2600peças são feitas, então,pelo menos 4 tenham , quatro delas devem ter o mesmo codigocódigo carimbadas.(pág.315)''
[[Exemplo 4.2.4 - Solução]]
===== Exemplo 4.2.5 ====='''EXEMPLO (E5, página 315)'''Cada aluno é classificado como um membro de uma das seguintes classes: Freshman, Sophomore, Junior, Senior. Encontrar o número mínimo de estudantes que devem ser escolhidos de modo a garantir que, pelo menos, oito pertencem à mesma classe.(pág. 315)''
'''Solução:'''De um grupo de 28 estudantes podem ser 7 pertencentes a cada classe[[Exemplo 4.Mas se há 29 estudantes, pelo menos 8 devem ser membros da mesma classe.Portanto, o número mínimo de estudantes que deve ser escolhido é de 292.5 - Solução]]
Em outras palavras, nós estamos olhando para o número mínimo N tal que <math>|\frac{N}{===Exemplos adicionais relativos a Seção 4} | .3=== 8</math>. O numero minimo é 29.
===Exemplos adicionais relativas a Seção '''Exemplo 4.3==='''EXEMPLO (E1, pág 321).1'''Uma classe tem 30 alunos matriculados. De quantas maneiras pode-se:
''Uma classe tem 30 alunos matriculados. De quantas maneiras pode-se: (apág 321) Colocar 4 alunos em uma fila para uma foto?
''(ba) Colocar todos os 30 4 alunos em uma fila para uma foto?
''(cb) Colocar todos os 30 alunos em duas filas de 15 cada uma fila para uma foto?
'''Solução:'''(ac) Precisamos preencher a seguinte linha de quatro espaços Colocar todos os 30 alunos em branco: 30 x 29 x 28 x 27. Este é o número duas filas de permutações de 4 a partir de um conjunto de 30, que é P( 30 ,4 );15 cada para uma foto?''
(b)A resposta pode ser visualizado como o número de maneiras para preencher uma fila com 30 lacunas com os 30 estudantes, que é 30! , ou P( 30, 30 );[[Exemplo 4.3.1 - Solução]]
(c) Podemos ver que o número de maneiras para preencher em duas filas,é cada uma com 15 espaços em branco, com os alunos 30:'''Exemplo 4.3.2 '''
Podemos então, começar por preencher a linha ''Um certo tipo de botão de uma fechadura de inferior, o porta exige que você insira um código antes que pode ser feito de 30 x 29 x 28 x … x 17 x 16 maneirasa fechadura abra. Em seguidaO bloqueio tem 5 botoes, preencher linha superior, que pode ser feito numerados de 15! = 15 x 14 x 13… x 2 x 1 maneirasa 5. Portanto a resposta O bloqueio é programado para reconhecer seis códigos de 4 dígitos diferentes, podendo repetir os algarismos de cada código. Quantos conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis existem?(30 x 29 x 28 x … x 17 x 16) x (15 x 14 x 13 x … x 2 x 1pág 324) = 30!''
'''EXEMPLO (E2, página 324)'''Um certo tipo de botão de uma fechadura de porta exige que você insira um código antes que a fechadura abra[[Exemplo 4.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.O bloqueio é programado para reconhecer seis códigos de 4 dígitos diferentes, podendo repetir os algarismos de cada código3. Quantos conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis existem?2 - Solução]]
'''Solução:'''
Há 5⁴=625 possíveis códigos com quatro dígitos. Portanto, há C(625,6) conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis.
EXEMPLO (E3, página 324)
…..
'''EXAMPLE Exemplo 4.3.3 (E4, page pág 324)'''Quantas maneiras existem de escolher uma comissão de cinco pessoas consistindo de três mulheres e dois homens de um grupo de dez mulheres e sete homens?
'''Solução:''' O número de maneiras de escolher três mulheres é C( 10,3 ) e o numero de maneiras de escolher 10 homens é C(7,2).Usando a regra do produto para escolher três mulheres e dois homens é C( 10,3 ) x C(7,2) = 2,520..
[[Exemplo 4.3.3 - Solução]]
'''EXEMPLO (E5, page 324)Exemplo 4.3.4'''Sendo o conjunto S = {1,2,3,...,19}. Encontre o número ''Quantas maneiras existem de escolher uma comissão de cinco pessoas consistindo de subconjuntos três mulheres e dois homens de S com numeros iguais um grupo de inteiros pares dez mulheres e impares.sete homens?(pág 324)''
'''Solução:'''Note que, existem 10 inteiros ímpares e 9 inteiros pares em S[[Exemplo 4. Os subconjuntos a serem contados deve consistir de k inteiros ímpares e k inteiros pares, onde k=1,2,3,...,9. Portanto, pela regra do produto, o número de cada tipo é C(10, k) x C(9,k). Portanto, pela regra da soma, a resposta é C(10, k) x C(9,k) + C(10, k) x C(9,k)4 - Solução]]
'''Exemplo 4.3.5 '''
''Sendo o conjunto S = {1,2,3,...,19}. Encontre o número de subconjuntos de S com numeros iguais de inteiros pares e impares.(pág 324)''
[[Exemplo 4.3.5 - Solução]]
'''EXEMPLO (E6, page 324)Exemplo 4.3.6 '''Encontre maneiras de dividir um baralho de 52 cartas, em:
a)Em 4 pilhas iguais''Encontre maneiras de dividir um baralho de 52 cartas, classificado em A,B,C,D;:(pág 324)''
b''a)Em 4 pilhas iguais, sem classificaçãoclassificado em A,B,C,D;
'''Solução:'''ab) Cada pilha deve conter 52/Em 4 = 13 cartas. Na sequenciapilhas iguais, empilharemos A,em seguida B, depois C, e finalmente D. Então teremos C(52,13) maneiras de obter a pilha de A, C(39,13) maneiras de obter a pilha de B, C(26,13) maneiras de obter a pilha de C, e C(13,13)=1 maneiras de obter a pilha de D.Portanto pela regra do produto,teremos :C(52,13) x C(39,13) x C(26,13) x C(13,13) = <math>\frac{52!}{13!.29!} .\frac{39!}{13!.26!} .\frac{26!}{13!.13!} .\frac{13!}{13!.0!} = \frac{52!}{(13!)^4} </math>sem classificação;''
b) Se nas [[Exemplo 4 pilhas não houver classificação,então podemos permutar as quatro pilhas em 4! Maneiras. Daí a resposta é a mesma do iten anterior dividido por 4!:<math>\frac{C(52,13).C(39,13).C(26,13).C(13,13)}{4!} = \frac{52!}{(13!)^43.4!}</math>6 - Solução]]
'''Exemplo 4.3.7 '''
'''EXEMPLO Suponha que S = {1,2, . . ., 25} . Encontre o numero de subconjuntos de tamanho 5,tal que T:(E7, page pág 324)'''
Supunha que S = {1,''a) consista de 2, . . ., 25} numeros impares e 3 numeros pares. Encontre o numero de subconjuntos de tamanho 5,tal que T:
a''b) consista consiste de 2 numeros impares e 3 numeros paresexatamente três números primos.
b''c) consiste de exatamente três números primostenha a soma dos seus elementos, menor que 20.
c''d) tenha a soma dos seus elementostem, menor que 20pelo menos, um número par na mesma.''
d) tem, pelo menos, um número par na mesma[[Exemplo 4.3.7 - Solução]]
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.4===
'''Exemplo 4.4.1 '''
'''Solução:'''Escreva a) Há 13 numeros impares; podemos escolher dois em Cexpansão de (13,2x+2y) maneiras³.Há 12 numeros pares; podemos escolher 3 em C(12,3pág 328) maneiras. Usando a regra do produto para encontrar o número de subconjuntos T, temos subconjuntos.''
b) Os numeros primos em S são 2,3,5,7,11,13,17,19, and 23, então temos C(9,3) maneiras de selecionar 3 desses numeros[[Exemplo 4.Mas também precisa selecionar 2 dos 16 números compostos para fazer T ter tamanho cinco;então C(16,2) maneiras para isso.Portanto pela regra do produto temos C(9,3) x C(16,2)=10.080 subconjuntos possiveis T4.1 - Solução]]
c) Há poucos subconjuntos com esta propriedade'''Exemplo 4. Então é melhor neste caso, contar diretamente o conjunto de cinco números cuja soma é inferior a 20:1,2,3,4,5, 1,.2,3,4,6, 1,2,3,4,7,1,2,3,4,8, 1,2,3,4,9, 1,3,4,5,6.Assim, existem seis desses subconjuntos possiveis.'''
d) É mais fácil para contar ''Encontre o número total coeficiente <math>a^{17}b^{23}</math> na expansão de subconjuntos de tamanho 5, e depois subtrair o número de subconjuntos sem números pares neles:<math>C(25, 5)3a-C(13,57b) = 51,843^{40}</math>. (pág 328)''
===Exemplos adicionais relativas a Seção [[Exemplo 4.4==='''EXEMPLO (E1, página 328)'''Escreva a expansão de (x+2y)³.2 - Solução]]
'''Solução:Exemplo 4.4.3 '''pelo teorema binomial:<math>(x+2y)^3 = \binom{3}{0} x^3(2y)^0+\binom{3}{1} x^2(2y)^1+\binom{3}{2} x^1(2y)^2+\binom{3}{3} x^0(2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3</math>
'''EXEMPLO (E2, page 328)'''Encontre o coeficiente Escreva a expansão de <math>a(x^2-\frac{171}b^{23x}</math> na expansão de <math>(3a-7b)^{40}8</math>.(pág 328)''
'''[[Exemplo 4.4.3 - Solução:'''Expandindo <math>(3a-7b)^{40}</math> usando o teorema binomial, localizamos o termo com o produto <math>a^{17}b^{23}</math>, e então encontramos o coeficiente:]]
<math>(3a-7b)^{40} = (3a+(-7b))^{40}</math>==Exemplos adicionais relativas a Seção 4.5==='''Exemplo 4.5.1 '''
= <math>\cdots + \binom{40}{17} ''Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos: chocolate, geleia, açúcar, manteiga de amendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de biscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher: (3apág 338)^{17}(-7b)^{23} + \cdots</math>= <math>\cdots + \binom{40}{17} 3^{17}(-7)^23a^{17}b^{23} + \cdots</math>''
Assim, o coeficiente de <math>''a^{17}b^{23}</math> é <math>\binom{40}{17} 3^{17}(-7)^{23}</math>, que também pode ser escrito como <math>\binom{40}{23} Ao menos 3^{17}(-7)^{23}</math>.biscoitos de chocolate e pelo menos 6 biscoitos de manteiga de amendoim
'''EXEMPLO (E3, page 328b)'''Escreva a expansão Exatamente 3 biscoitos de <math>(x^2-\frac{1}{x} )^8</math>chocolate e exatamente 6 biscoitos de manteiga de amendoim
'''Solução:'''Usa-se o teorema binomial. Em seguida, várias regras exponenciais para simplificar os termos.c) No máximo 5 biscoitos de açúcar
<math>(x^2-\frac{1}{x} ''d)^8 = \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} (x^2)^i(\frac{-1}{x} )^{8-i}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} \frac{x^{2i}(-1)^{8-i}}{x^{8-i}}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} x^{3i-8}(-1)^{8-i}</math><math>= x^{-8}-8x^{-5}+28x^{-2}-56x^{1}+70x^{4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math><math>= \frac{1}{x^8} -\frac{8}{x^5} +\frac{28}{x^2} -56x^{1}+70x^{4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math>Pelo menos um dos quatro tipos de biscoitos.''
===Exemplos adicionais relativas a Seção [[Exemplo 4.5==='''EXEMPLO (E1, page 338)'''Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos: chocolate, geleia, açúcar, manteiga de amendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de biscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher:1 - Solução]]
a) Ao menos 3 biscoitos de chocolate e pelo menos 6 biscoitos de manteiga de amendoim
b) Exatamente 3 biscoitos de chocolate e exatamente 6 biscoitos de manteiga de amendoim'''Exemplo 4.5.2 '''
c''Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED? (pág 339) No máximo 5 biscoitos de açúcar''
d) Pelo menos um dos quatro tipos de biscoitos[[Exemplo 4.5.2 - Solução]]
Solução:
'''EXEMPLO (E2, page 339)Exemplo 4.5.3'''Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED?
'''Solução: '''Na palavra há dois ‘D’Um frasco contém 30 moedas de 1 centavo, três ‘E’20 moedas de 5 centavos, um ‘C’20 moedas de 10 centavos, um ‘I’ e um ‘V’15 moedas de 25 centavos. Portanto, o número de permutações (As moedas de DECEIVED é: <math>\frac{8!}{2!cada denominação são consideradas idênticas.3!.1!.1!.1!} = \frac{8!}{2!.3!}</math>) (pág 339)''
'''EXEMPLO (E3, page 339a)'''Um frasco contém 30 moedas de 1 centavo, 20 moedas de 5 centavos, 20 moedas Encontre o número de 10 centavos, e 15 moedas maneiras de 25 centavos. (As colocar todas as 85 moedas de cada denominação são consideradas idênticasem uma fileira.)
''(ab) Encontre o número de maneiras possíveis ‘punhados’ de colocar todas as 85 12 moedas em uma fileira.''
(b) Encontre o número de possíveis ‘punhados’ de 12 moedas[[Exemplo 4.5.3 - Solução]]
'''Solução:'''
(a) A resposta não é 85! uma vez que as moedas não são todos distintos. Pense no problema como um de fazer uma palavra com 30 p's, 20 n's, 20 d's, e 15 q's. Tendo em conta as cartas idênticas, temos
<math>\frac{85!}{30!.20!.20!.15!}</math>
(b) Quando se contar o número de ‘punhados’ de 12 moedas, estamos apenas preocupados com o número de cada denominação escolhida'''Exemplo 4. Por exemplo, poderíamos escolher 9 moedas de 1 centavos, 2 de 5 centavos, e uma de 25 centavos, ou podemos escolher três de cada denominação. Assim, o número de um ‘punhados’ de 12 moedas é igual ao número inteiro não negativo de soluções para a equação:<math>p+n+d+q = 12</math>onde P é o número de moedas de 1 centavo, n é o número de moedas de 5 centavos, d é o número de moedas de 10 centavos, e q é o número de 25 centavos. O número de soluções para esta equação é:<math>C(15,3) = 455</math>4'''
'''EXEMPLO (E4, page 339)'''De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras de “CHEMISTS” em uma fila?(pág 339)''
'''[[Exemplo 4.5.4 - Solução:''']]
Existem dois padrões ===Exemplos adicionais relativas a serem considerados:Seção 4.6==='''Exemplo 4.6.1'''
''Coloque as seguintes permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, na ordem lexicográfica : (apág 345) 7 letras distintas são selecionados (ou seja, apenas um S é selecionado), e''
(b) os dois S serem selecionados.<math>461325, 326145, 516243, 324165, 461235, 324615, 462135</math>
No primeiro teste padrão, existem 7! Maneiras de colocar as 7 letras distintas em uma fileira[[Exemplo 4.6.1 - Solução]]
No segundo padrão, as sete letras selecionadas têm dois S’s, por isso há 7! / 2! Maneiras de colocar essas letras em uma fileira.
Adicionando os totais obtidos a partir dos dois casos, temos o número total de maneiras de colocar sete dos oito cartas em uma fileira:<math>7!+'''Exemplo 4.6.\frac{7!}{2!}</math> ===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.6==='''EXEMPLO (E1, página 345)'''Coloque as seguintes permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, na ordem lexicográfica : <math>461325, 326145, 516243, 324165, 461235, 324615, 462135</math>
'''Solução:'Encontre a permutação de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente após 263.541 em ordem lexicográfica. (pág 345)''Procedendo do menor ao maior, as permutações são:
<math>324165, 324615, 326145, 461235, 461325, 462135, 516243</math>[[Exemplo 4.6.2 - Solução]]
'''EXEMPLO (E2, página 345)'''
Encontre a permutação de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente após 263.541 em ordem lexicográfica.
'''Solução:Exemplo 4.6.3 '''Os dígitos 5, 4, 1 estão em ordem decrescente, por isso precisamos aumentar o dígito seguinte, 3. Substitui-lo por 4 e, em seguida, colocar os dígitos restantes em ordem crescente, temos 264.1355.
'''EXEMPLO (E3, página 345)'''Encontre a permutação de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente antes de 261.345 em ordem lexicográfica.(pág 345)''
'''[[Exemplo 4.6.3 - Solução:''']]
Uma vez que os quatro últimos dígitos, 1345, estão em ordem crescente, a permutação que vem imediatamente antes deste deve ter um “5” na segunda posição e os quatro dígitos após o “5”, em ordem decrescente. Assim, o antecessor de 261.345 é 256.431.
'''EXEMPLO (E4, página 345)Exemplo 4.6.4 '''Se as permutações de 1,2,3,4,5,6 forem colocadas em ordem lexicográfica, com 123.456 na posição 1, 123.465 na posição 2, etc., encontrar a permutação na posição 362.
[[Solução: EXEMPLO ''Se as permutações de 1,2,3,4,5,6 forem colocadas em ordem lexicográfica, com 123.456 na posição 1, 123.465 na posição 2, etc., encontrar a permutação na posição 362. (E4, página pág 345)]]''
'''[[Exemplo 4.6.4 - Solução:''']]
Existem 6! = 720 permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6. O primeiro 120 (isto é, as permutações em posições de 1 a 120) começa com um “1”, o segundo 120 (nas posições 121 a 240) começar com “2”, etc. Assim, a primeira permutação começando com “4”, 412,356, é na posição 361. Assim , a próxima permutação, 412.365, vai estar na posição 362.
'''EXEMPLO (E5, página 345)Exemplo 4.6.5 '''Se as permutações de 1,2,3,4,5 forem colocadas em ordem lexicográfica, em que posição estará a permutação 41253?
'''Solução:'Se as permutações de 1,2,3,4,5 forem colocadas em ordem lexicográfica, em que posição estará a permutação 41253? (pág 345)''
Existem [[Exemplo 4! = 24 permutações de 1, 2, 3, 4, 5 que começam com 1; estas permutações estão em posições de 1 a 24. Da mesma forma, as permutações em posições 25 a 48 começam com 2 e as permutações em posições 49 através de 72 começam com 3 . Assim, a primeira permutação começando com 4, 41235, está na posição 73. Por conseguinte 41253 está na posição 746.5 - Solução]]