[[Exemplo 4.1.1 - Solução]]
====Exemplo 4.1.2====
''Um certo tipo de botao de uma fechadura de porta exige que voce insira um codigo antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.''
'''EXAMPLE (E2, pag 302a)'''Um certo tipo Se voce escolher um código de botao entrada que consiste de uma fechadura sequencia de porta exige que voce insira um codigo antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes4 digitos, com números repetidos permitidos, numerados quantos códigos de 1 a 5.entrada são possíveis?''
''(ab) Se voce escolher um código de entrada que consiste de uma sequencia de 4 digitos, com sem repetir os números repetidos permitidos, quantos códigos de entrada são possíveis?''
(b) Se voce escolher um código de entrada que consiste de uma sequencia de [[Exemplo 4 digitos, sem repetir os números, quantos códigos de entrada são possíveis?.1.2 - Solução]]
'''Solução:''' (a) Precisa-se preencher os espaços em branco, e cada espaço pode ser preenchido com qualquer um dos 5 dígitos 1,2,3,4,5. Pela regra do produto geral, resolvemos com 5^====Exemplo 4=625 maneiras. (b) Precisa-se preencher os espaços em branco,mas cada espaço deve ser preenchido com inteiros diferentes de 1 a 5.Usando a regra do produto pode ser aplicado 5! 3=== 5x4x3x2 = 120 maneiras. '''EXAMPLE (E3, page 302)'''Conte os numeros de instruções de impressão nesse algoritmo:
<nowiki>
de i=1 até n
de k=1 ate n
print hello
fim </nowiki>''
'''Solução:''' Para cada valor de i,tanto o laço do 'j' como o do 'k' sao executados[[Exemplo 4. Assim a cada i, o número de declarações de impressão executado é 2Xn .Portanto o numero total de instruções de impressao executados é 2xn² 1.3 - Solução]]
====Exemplo 4.1.4===='''EXEMPLO (E4, page 302)'''Conte os numeros de instruções de impressão nesse algoritmo:
<nowiki>
de i=1 até n
de k=i+1 ate n
print hello
fim </nowiki>''
'''Solução:''' Para cada valor de i,tanto o laço do 'j' como o do 'k' sao executados[[Exemplo 4. Assim a cada laço do i, o número de declarações de impressão executado é i no primeiro laço mais n-i no segundo laço1. Portanto para cada i, o numero de impressoes é i + (n4 -i) = n.Solução]]
====Exemplo 4.1.5===='''EXEMPLO (E5, pag 306)'''Encontre o numero de palavras com 10 letras sem repeti-las:''
''(a) que não tenha vogais.''
''(b) que começam com uma vogal.''
''(c) que tenha C e V nas extremidades (em qualquer ordem).
''(d) que tenha vogais nas duas primeiras posições.
'''Solução:'''Para resolver o problema é ter em mente uma fila de dez espaços em branco :a) Cada um dos 10 espaços em branco da cadeia deve conter [[Exemplo 4.1 das 21 consoantes,sem repeti.5 -las.Pela regra do produto: 21 X 20 X 19 X 18 X ... X 12.Solução]]
b)Existem 5 possibilidades da primeira letra ser uma vogal====Exemplo 4.1.Se a vogal for colocada no primeiro espaço 6====''10 homens e 10 mulheres estão em branco existem 25 maneiras para preencher no segundo espaço,24 maneiras de preencher o terceiro espaço,etc . 5 x 25 x 24 x 23 x ... x 18 x 17.uma fila:
c)Primeiramente contamos o número de maneiras de preencher os 10 espaços começando com C e terminando com V,o numero de manerias de preencher as oito letras restantes é 24 x 23 x ... x 18 x 17;<nowiki> C _ _ _ _ _ _ _ _ V</nowiki>Da mesma forma,o número de palavras,porem agora,começando com V e terminado com C, 24 x 23 x ... x 18 x 17;<nowiki> V _ _ _ _ _ _ _ _ C</nowiki>Logo,pela regra da soma : <nowiki> ''(24 x 23 x ... x 18 x 17a) + (24 x 23 x Encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila... x 18 x 17) = = 2 x (24 x 23 x ... x 18 x 17)</nowiki>
d''(b) Primeiramente vamos contar o número de maneiras de colocar as vogais nos dois primeiros espaços em branco.Podemos escolher qualquer uma das 5 vogais para Encontre quantas possibilidades pode ser formada a primeiro espaço e das 4 vogais restantes para o 2 espaço : 5 x 4=20 maneiras de colocar fila se duas vogais nas duas primeiras posições.pessoas do mesmo sexo não podem ficar lado a lado;
Em seguida''(c) Encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila se Beryl, vamos preencher os 8 espaços restantes com 24 letras que faltam.Sendo feito da seguinte forma : 24 x 23 x ... x 18 x 17 maneirasCarol, e Darryl querem ficar juntas nesta sequencia (Carol, Beryl, and Darryl; ou Darryl, Beryl, e Carol).
[[Exemplo 4.1.6 - Solução]]
Portanto, ====Exemplo 4.1.7====''Encontre o número de maneiras de colocar vogais nois dois primeiros espaços e oito palavras 10 letras nos restantes dos espaços é: 5 x 25 x 24 x 23 x ... x 18 x 17
''(a) Não contenha vogais.
'''EXAMPLE (E6, page 306b)'''10 homens e 10 mulheres estão em Começar com uma fila:vogal.
''(ac) encontre quantas possibilidades pode ser formada a filaTer vogais nas duas primeiras posições.
''(bd) encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila se duas pessoas do mesmo sexo não podem ficar lado a lado;Começar com C e terminam com V.
''(ce) encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila se Beryl, Carol, e Darryl querem ficar juntas nesta sequencia (Carol, Beryl, and Darryl; Começar com C ou Darryl, Beryl, e Carol)terminar com V.
'''SoluçãoPara resolver o problema é ter em mente uma fila de dez espaços em branco :'''
a)Há 20 pessoas;Portanto eles podem ser colocados em uma fila: 20 x 19 x 18 x..[[Exemplo 4.1.x 1 = 20! 7 - Solução]]
b)se duas pessoas do mesmo sexo não podem ficar lado a lado;Entao há dois padroes possiveis, usando M para Masulino e F para Feminino: <nowiki> MFMFMFMFMFMFMFMFMFMF e FMFMFMFMFMFMFMFMFMFM===Exemplos da Seção 4.</nowiki>2===
Se contar o numero de maneiras de se obter a primeira possibilidade, dobramos ela para chegarmos ao resultado final.O Primeiro homem pode ser escolhido em 10 maneiras, a Primeira mulher pode ser escolhida de 10 Maneiras, o homem Segundo pode ser escolhido de 9 maneiras, etc.Assim,pela regra do produto temos :10 x 10 x 9 x 9 x .===== Exemplo 4.2. x 2 x 2 x 1 x 1 ou (10!)² maneiras.=====
c)Considerando primeiro os arranjos onde Beryl,Carol e Darryl ficam um ao lado do outro,nessa ordem.Colocando as outras 17 pessoas na fileira.o ''Provar que pode ser feito em 17! Maneiras.Nao importa como as 17 pessoas sao colocadas na filaqualquer grupo de três números inteiros positivos,Berylexistem pelo menos dois,Carol e Darryl,pode ser inserido,nessa ordem,entre duas das 17, ou então colocado em uma das duas extremidadescuja a soma é par. (Pág.314)''
No entanto, uma vez que escolher um local para colocar Beryl, Carol, e Darryl, existem 3! = 6 maneiras de colocar Beryl, Carol, e Darryl nesse ponto [[Exemplo 4.2.1 --- BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB. Solução]]
Portanto, a resposta é obtida colocando os outros 17 em uma fileira; escolher um dos 18 pontos para Beryl, Carol, e Darryl; e organizar os três em um local (em 3! maneiras)===== Exemplo 4. Assim, a resposta é: 17! x 3!2.2 =====
'''EXEMPLO Se forem escolhidos inteiros positivos aleatoriamente, qual é o número mínimo que podemos garantir que dois dos números escolhidos sejam congruentes módulo 6. (E7, página 308pág 314)'''Encontre o número de palavras 10 letras :
(a) não contenha vogais[[Exemplo 4.2.2 - Solução]]
(b) começar com uma vogal===== Exemplo 4.2.3 =====
''Prove que em qualquer conjunto de 700 palavras em inglês, deve haver pelo menos duas que começam com o mesmo par de letras (cna mesma ordem) ter vogais nas duas primeiras posições, por exemplo, ST OP e STAndard.(pág 314)''
(d) começar com C e terminam com V[[Exemplo 4.2.3 - Solução]]
(e) começar com C ou terminar com V===== Exemplo 4.2.4 =====
Para resolver o problema é ter ''Cada tipo de peça de uma máquina feita em mente uma fila fábrica é carimbada com um código do formulário de dez espaços em branco :letter-digit-digit, onde os dígitos podem ser repetidos. Prove que, se 8000 peças são feitas, então, pelo menos, quatro delas devem ter o mesmo código carimbadas.(pág. 315)''
a) Cada um dos 10 espaços em branco da cadeia deve conter 1 das 21 consoantes,como podemos repeti-las[[Exemplo 4.Pela regra do produto: 21 X 21 X 21 X 21 X 2... X 21 = 21^10 ; 4 - Solução]]
b)Há cinco opções para ===== Exemplo 4.2.5 =====''Cada aluno é classificado como um membro de uma vogal das seguintes classes: Freshman, Sophomore, Junior, Senior. Encontrar o número mínimo de estudantes que devem ser colocada na primeira posiçãoescolhidos de modo a garantir que, e não há restrições sobre os outros nove letraspelo menos,por isso : 5 x 26^9 oito pertencem à mesma classe.(pág. 315)''
c)Se essas vogais devem estar nas duas primeiras posições e as letras podem ser repetidas, obtém[[Exemplo 4.2.5 -se o produto: 5² x 26^8 Solução]]
d)Se ===Exemplos adicionais relativos a palavra tem a forma : C....V existem 26 maneiras para preencher cada uma dos oito espaços. Portanto, há 26^8 palavras desta formaSeção 4.3===
e)Precisa-se usar o princípio da inclusão-exclusão para evitar a dupla contagem'''Exemplo 4.Sendo A¹ o conjunto de todas as palavras com 10 letras que começam com C e A² o conjunto de todas as palavras com 10 letras que terminam com V: A¹ U A² = |A¹|+|A²| - |A¹ n A²| = 26^9 + 26^9 - (26^8);3.1'''
===Exemplos da Seção 4''Uma classe tem 30 alunos matriculados.2===De quantas maneiras pode-se: (pág 321)
===== Exemplo ''(a) Colocar 4.2.1 =====alunos em uma fila para uma foto?
'''Provar que em qualquer grupo de três números inteiros positivos, existem pelo menos dois, cuja a soma é par. (pág 314b)'''Colocar todos os 30 alunos em uma fila para uma foto?
[[Contagem: Exemplo 1 - Solução]]''(c) Colocar todos os 30 alunos em duas filas de 15 cada para uma foto?''
===== Contagem: [[Exemplo 2 ====='''Se forem escolhidos inteiros positivos aleatoriamente, qual é o número mínimo que podemos garantir que dois dos números escolhidos sejam congruentes módulo 64. (pág 314)'''3.1 - Solução]]
[[Contagem: '''Exemplo 4.3.2 - Solução]]'''
===== Contagem: Exemplo 3 =====''Um certo tipo de botão de uma fechadura de porta exige que você insira um código antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.O bloqueio é programado para reconhecer seis códigos de 4 dígitos diferentes, podendo repetir os algarismos de cada código. Quantos conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis existem?(pág 324)''
Prove que em qualquer conjunto de 700 palavras em inglês, deve haver pelo menos duas que começam com o mesmo par de letras (na mesma ordem), por exemplo, ST OP e STAndard[[Exemplo 4.(pág 314)3.2 - Solução]]
[[Contagem: Exemplo 3 - Solução]]
'''Exemplo 4.3.3 (pág 324)'''
'''EXEMPLO (E4, página 315)'''Cada tipo de peça de uma máquina feita em uma fábrica é carimbada com um código do formulário de letter-digit-digit, onde os dígitos podem ser repetidos. Prove que, se 8000 peças são feitas, então, pelo menos, quatro delas devem ter o mesmo código carimbadas..
'''Solução:'''O numero de codigos possiveis 26 x 10 x 10 = 2600[[Exemplo 4. Desde que,8000 > 3 x 2600,pelo menos 4 tenham o mesmo codigo.3 - Solução]]
'''Exemplo 4.3.4'''
''Quantas maneiras existem de escolher uma comissão de cinco pessoas consistindo de três mulheres e dois homens de um grupo de dez mulheres e sete homens?(pág 324)''
'''EXEMPLO (E5, página 315)'''Cada aluno é classificado como um membro de uma das seguintes classes: Freshman, Sophomore, Junior, Senior[[Exemplo 4. Encontrar o número mínimo de estudantes que devem ser escolhidos de modo a garantir que, pelo menos, oito pertencem à mesma classe3.4 - Solução]]
'''Solução:Exemplo 4.3.5 '''De um grupo de 28 estudantes podem ser 7 pertencentes a cada classe.Mas se há 29 estudantes, pelo menos 8 devem ser membros da mesma classe.Portanto, o número mínimo de estudantes que deve ser escolhido é de 29.
Em outras palavras, nós estamos olhando para ''Sendo o número mínimo N tal que <math>|\fracconjunto S = {N}{41,2,3,...,19} | = 8</math>. O numero minimo é 29Encontre o número de subconjuntos de S com numeros iguais de inteiros pares e impares.(pág 324)''
===Exemplos adicionais relativas a Seção [[Exemplo 4.3==='''EXEMPLO (E1, pág 321)'''Uma classe tem 30 alunos matriculados. De quantas maneiras pode5 -se:Solução]]
(a) Colocar '''Exemplo 4 alunos em uma fila para uma foto?.3.6 '''
''Encontre maneiras de dividir um baralho de 52 cartas, em:(bpág 324) Colocar todos os 30 alunos em uma fila para uma foto?''
(c''a) Colocar todos os 30 alunos Em 4 pilhas iguais, classificado em duas filas de 15 cada para uma foto?A,B,C,D;
'''Solução:'''(ab) Precisamos preencher a seguinte linha de quatro espaços em branco: 30 x 29 x 28 x 27. Este é o número de permutações de Em 4 a partir de um conjunto de 30pilhas iguais, que é P( 30 ,4 )sem classificação;''
(b)A resposta pode ser visualizado como o número de maneiras para preencher uma fila com 30 lacunas com os 30 estudantes, que é 30! , ou P( 30, 30 );[[Exemplo 4.3.6 - Solução]]
(c) Podemos ver que o número de maneiras para preencher em duas filas,é cada uma com 15 espaços em branco, com os alunos 30:'''Exemplo 4.3.7 '''
Podemos então''Suponha que S = {1,2, começar por preencher a linha de inferior. . ., 25} . Encontre o que pode ser feito numero de subconjuntos de 30 x 29 x 28 x … x 17 x 16 maneiras. Em seguida, preencher linha superiortamanho 5, tal que pode ser feito de 15! = 15 x 14 x 13… x 2 x 1 maneiras. Portanto a resposta é (30 x 29 x 28 x … x 17 x 16) x T:(15 x 14 x 13 x … x 2 x 1pág 324) = 30!''
'''EXEMPLO (E2, página 324a)'''Um certo tipo de botão de uma fechadura consista de porta exige que você insira um código antes que a fechadura abra2 numeros impares e 3 numeros pares.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.O bloqueio é programado para reconhecer seis códigos de 4 dígitos diferentes, podendo repetir os algarismos de cada código. Quantos conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis existem?
'''Solução:'''Há 5⁴=625 possíveis códigos com quatro dígitos. Portanto, há C(625,6b) conjuntos diferentes consiste de códigos reconhecíveis.EXEMPLO (E3, página 324)….exatamente três números primos.
'''EXAMPLE (E4c) tenha a soma dos seus elementos, page 324)'''Quantas maneiras existem de escolher uma comissão de cinco pessoas consistindo de três mulheres e dois homens de um grupo de dez mulheres e sete homens?menor que 20.
'''Solução:''' O número de maneiras de escolher três mulheres é C( 10,3 d) e o numero de maneiras de escolher 10 homens é C(7tem,2).Usando a regra do produto para escolher três mulheres e dois homens é C( 10pelo menos,3 ) x C(7,2) = 2,520um número par na mesma.''
[[Exemplo 4.3.7 - Solução]]
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.4==='''EXEMPLO (E5, page 324)Exemplo 4.4.1 '''Sendo o conjunto S = {1,2,3,...,19}. Encontre o número de subconjuntos de S com numeros iguais de inteiros pares e impares.
'''Solução:'''Note que, existem 10 inteiros ímpares e 9 inteiros pares em S. Os subconjuntos Escreva a serem contados deve consistir expansão de k inteiros ímpares e k inteiros pares, onde k=1,2,3,...,9. Portanto, pela regra do produto, o número de cada tipo é C(10, k) x C(9,k+2y)³. Portanto, pela regra da soma, a resposta é C(10, k) x C(9,k) + C(10, k) x C(9,kpág 328)''
[[Exemplo 4.4.1 - Solução]]
'''Exemplo 4.4.2 '''
''Encontre o coeficiente <math>a^{17}b^{23}</math> na expansão de <math>(3a-7b)^{40}</math>. (pág 328)''
'''EXEMPLO (E6, page 324)'''Encontre maneiras de dividir um baralho de 52 cartas, em:[[Exemplo 4.4.2 - Solução]]
a)Em '''Exemplo 4 pilhas iguais, classificado em A,B,C,D;.4.3 '''
b''Escreva a expansão de <math>(x^2-\frac{1}{x} )Em 4 pilhas iguais, sem classificação;^8</math>. (pág 328)''
'''Solução:'''a) Cada pilha deve conter 52/[[Exemplo 4 = 13 cartas. Na sequencia, empilharemos A,em seguida B, depois C, e finalmente D4. Então teremos C(52,13) maneiras de obter a pilha de A, C(39,13) maneiras de obter a pilha de B, C(26,13) maneiras de obter a pilha de C, e C(13,13)=1 maneiras de obter a pilha de D.Portanto pela regra do produto,teremos :C(52,13) x C(39,13) x C(26,13) x C(13,13) = <math>\frac{52!}{13!.29!} .\frac{39!}{13!.26!} .\frac{26!}{13!.13!} .\frac{13!}{13!.0!} = \frac{52!}{(13!)^4} </math>3 - Solução]]
b) Se nas 4 pilhas não houver classificação,então podemos permutar as quatro pilhas em 4! Maneiras. Daí a resposta é ===Exemplos adicionais relativas a mesma do iten anterior dividido por Seção 4!:<math>\frac{C(52,13).C(39,13).C(26,13).C(13,13)}{4!} 5=== \frac{52!}{(13!)^'''Exemplo 4.4!}</math>5.1 '''
''Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos: chocolate, geleia, açúcar, manteiga de amendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de biscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher: (pág 338)''
'''EXEMPLO (E7, page 324a)'''Ao menos 3 biscoitos de chocolate e pelo menos 6 biscoitos de manteiga de amendoim
Supunha que S = {1,2, . . ., 25} . Encontre o numero ''b) Exatamente 3 biscoitos de subconjuntos chocolate e exatamente 6 biscoitos de tamanho 5,tal que T:manteiga de amendoim
a''c) consista No máximo 5 biscoitos de 2 numeros impares e 3 numeros pares.açúcar
b''d) consiste Pelo menos um dos quatro tipos de exatamente três números primosbiscoitos.''
c) tenha a soma dos seus elementos, menor que 20[[Exemplo 4.5.1 - Solução]]
d) tem, pelo menos, um número par na mesma.
'''Exemplo 4.5.2 '''
''Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED? (pág 339)'Solução:'''a) Há 13 numeros impares; podemos escolher dois em C(13,2) maneiras.Há 12 numeros pares; podemos escolher 3 em C(12,3) maneiras. Usando a regra do produto para encontrar o número de subconjuntos T, temos subconjuntos.
b) Os numeros primos em S são 2,3,[[Exemplo 4.5,7,11,13,17,19, and 23, então temos C(9,3) maneiras de selecionar 3 desses numeros.Mas também precisa selecionar 2 dos 16 números compostos para fazer T ter tamanho cinco;então C(16,2) maneiras para isso.Portanto pela regra do produto temos C(9,3) x C(16,2)=10.080 subconjuntos possiveis T.- Solução]]
c) Há poucos subconjuntos com esta propriedade. Então é melhor neste caso, contar diretamente o conjunto de cinco números cuja soma é inferior a 20:
1,2,3,4,5, 1,2,3,4,6, 1,2,3,4,7,
1,2,3,4,8, 1,2,3,4,9, 1,3,4,5,6.
Assim, existem seis desses subconjuntos possiveis.
d) É mais fácil para contar o número total de subconjuntos de tamanho '''Exemplo 4.5, e depois subtrair o número de subconjuntos sem números pares neles:<math>C(25, 5)-C(13,5) = 51,843</math>.3'''
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.4==='''EXEMPLO Um frasco contém 30 moedas de 1 centavo, 20 moedas de 5 centavos, 20 moedas de 10 centavos, e 15 moedas de 25 centavos. (As moedas de cada denominação são consideradas idênticas.) (E1, página 328pág 339)'''Escreva a expansão de (x+2y)³.
'''Solução:'''pelo teorema binomial:<math>(x+2ya)^3 = \binom{3}{0} x^3(2y)^0+\binom{3}{1} x^2(2y)^1+\binom{3}{2} x^1(2y)^2+\binom{3}{3} x^0(2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3</math>Encontre o número de maneiras de colocar todas as 85 moedas em uma fileira.
'''EXEMPLO (E2, page 328b)'''Encontre o coeficiente <math>a^{17}b^{23}</math> na expansão número de possíveis ‘punhados’ de <math>(3a-7b)^{40}</math>12 moedas.''
'''[[Exemplo 4.5.3 - Solução:'''Expandindo <math>(3a-7b)^{40}</math> usando o teorema binomial, localizamos o termo com o produto <math>a^{17}b^{23}</math>, e então encontramos o coeficiente:]]
<math>(3a-7b)^{40} = (3a+(-7b))^{40}</math>
= <math>\cdots + \binom{40}{17} (3a)^{17}(-7b)^{23} + \cdots</math>= <math>\cdots + \binom{40}{17} 3^{17}(-7)^23a^{17}b^{23} + \cdots</math>'''Exemplo 4.5.4'''
Assim, o coeficiente de <math>a^{17}b^{23}</math> ''De quantas maneiras é <math>\binom{40}{17} 3^{17}(-possivel colocar 7)^{23}</math>, que também pode ser escrito como <math>\binom{40}{23} 3^{17}das 8 letras de “CHEMISTS” em uma fila? (-7pág 339)^{23}</math>.''
'''EXEMPLO (E3, page 328)'''Escreva a expansão de <math>(x^2[[Exemplo 4.5.4 -\frac{1}{x} )^8</math>Solução]]
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.6==='''Solução:Exemplo 4.6.1'''Usa-se o teorema binomial. Em seguida, várias regras exponenciais para simplificar os termos.
<math>(x^2-\frac{''Coloque as seguintes permutações de 1}{x} )^8 = \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} (x^, 2)^i(\frac{-1}{x} )^{8-i}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} \frac{x^{2i}, 3, 4, 5, 6, na ordem lexicográfica : (-1pág 345)^{8-i}}{x^{8-i}}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} x^{3i-8}(-1)^{8-i}</math><math>= x^{-8}-8x^{-5}+28x^{-2}-56x^{1}+70x^{4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math><math>= \frac{1}{x^8} -\frac{8}{x^5} +\frac{28}{x^2} -56x^{1}+70x^{4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math>''
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.5==='''EXEMPLO (E1<math>461325, page 338)'''Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos: chocolate326145, geleia516243, açúcar324165, manteiga de amendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de biscoito461235, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher:324615, 462135</math>
a) Ao menos 3 biscoitos de chocolate e pelo menos [[Exemplo 4.6 biscoitos de manteiga de amendoim.1 - Solução]]
b) Exatamente 3 biscoitos de chocolate e exatamente 6 biscoitos de manteiga de amendoim
c) No máximo 5 biscoitos de açúcar'''Exemplo 4.6.2'''
d) Pelo menos um dos quatro tipos ''Encontre a permutação de biscoitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente após 263.541 em ordem lexicográfica. (pág 345)''
[[Exemplo 4.6.2 - Solução:]]
'''EXEMPLO (E2, page 339)'''
Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED?
'''Solução: '''Na palavra há dois ‘D’, três ‘E’, um ‘C’, um ‘I’ e um ‘V’Exemplo 4. Portanto, o número de permutações de DECEIVED é: <math>\frac{8!}{2!6.3!.1!.1!.1!} = \frac{8!}{2!.3!}</math> '''EXEMPLO (E3, page 339)'''Um frasco contém 30 moedas de 1 centavo, 20 moedas de 5 centavos, 20 moedas de 10 centavos, e 15 moedas de 25 centavos. (As moedas de cada denominação são consideradas idênticas.) (a) Encontre o número de maneiras de colocar todas as 85 moedas em uma fileira. (b) Encontre o número de possíveis ‘punhados’ de 12 moedas. '''Solução:'''(a) A resposta não é 85! uma vez que as moedas não são todos distintos. Pense no problema como um de fazer uma palavra com 30 p's, 20 n's, 20 d's, e 15 q's. Tendo em conta as cartas idênticas, temos<math>\frac{85!}{30!.20!.20!.15!}</math> (b) Quando se contar o número de ‘punhados’ de 12 moedas, estamos apenas preocupados com o número de cada denominação escolhida. Por exemplo, poderíamos escolher 9 moedas de 1 centavos, 2 de 5 centavos, e uma de 25 centavos, ou podemos escolher três de cada denominação. Assim, o número de um ‘punhados’ de 12 moedas é igual ao número inteiro não negativo de soluções para a equação:<math>p+n+d+q = 12</math>onde P é o número de moedas de 1 centavo, n é o número de moedas de 5 centavos, d é o número de moedas de 10 centavos, e q é o número de 25 centavos. O número de soluções para esta equação é:<math>C(15,3) = 455</math> '''EXEMPLO (E4, page 339)'''De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras de “CHEMISTS” em uma fila? '''Solução:''' Existem dois padrões a serem considerados: (a) 7 letras distintas são selecionados (ou seja, apenas um S é selecionado), e (b) os dois S serem selecionados. No primeiro teste padrão, existem 7! Maneiras de colocar as 7 letras distintas em uma fileira. No segundo padrão, as sete letras selecionadas têm dois S’s, por isso há 7! / 2! Maneiras de colocar essas letras em uma fileira. Adicionando os totais obtidos a partir dos dois casos, temos o número total de maneiras de colocar sete dos oito cartas em uma fileira:<math>7!+6.\frac{7!}{2!}</math> ===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.6==='''EXEMPLO (E1, página 345)'''Coloque as seguintes permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, na ordem lexicográfica : <math>461325, 326145, 516243, 324165, 461235, 324615, 462135</math>
'''Solução:'Encontre a permutação de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente antes de 261.345 em ordem lexicográfica. (pág 345)''Procedendo do menor ao maior, as permutações são:
<math>324165, 324615, 326145, 461235, 461325, 462135, 516243</math>[[Exemplo 4.6.3 - Solução]]
'''EXEMPLO (E2, página 345)'''
Encontre a permutação de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente após 263.541 em ordem lexicográfica.
[[Solução: EXEMPLO (E2, página 345)]]'''Exemplo 4.6.4 '''
'''EXEMPLO (E3, página 345)'''Encontre a permutação Se as permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente antes de 261.345 forem colocadas em ordem lexicográfica, com 123.456 na posição 1, 123.465 na posição 2, etc., encontrar a permutação na posição 362. (pág 345)''
[[Exemplo 4.6.4 - Solução: EXEMPLO (E3, página 345)]]
'''EXEMPLO (E4, página 345)'''
Se as permutações de 1,2,3,4,5,6 forem colocadas em ordem lexicográfica, com 123.456 na posição 1, 123.465 na posição 2, etc., encontrar a permutação na posição 362.
[[Solução: EXEMPLO (E4, página 345)]]'''Exemplo 4.6.5 '''
'''EXEMPLO (E5, página 345)'''Se as permutações de 1,2,3,4,5 forem colocadas em ordem lexicográfica, em que posição estará a permutação 41253?(pág 345)''
[[Exemplo 4.6.5 - Solução: EXEMPLO (E5, página 345)]]