====Exemplo 4.1.2====
''Um certo tipo de botao de uma fechadura de porta exige que voce insira um codigo antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.''
''(a) Se voce escolher um código de entrada que consiste de uma sequencia de 4 digitos, com números repetidos permitidos, quantos códigos de entrada são possíveis?''
''(b) Se voce escolher um código de entrada que consiste de uma sequencia de 4 digitos, sem repetir os números, quantos códigos de entrada são possíveis?''
[[Exemplo 4.1.2 - Solução]]
====Exemplo 4.1.3====
''Conte os numeros de instruções de impressão nesse algoritmo:
<nowiki>
de i=1 até n
de k=1 ate n
print hello
fim </nowiki>''
[[Exemplo 4.1.3 - Solução]]
====Exemplo 4.1.4====
''Conte os numeros de instruções de impressão nesse algoritmo:
<nowiki>
de i=1 até n
de k=i+1 ate n
print hello
fim </nowiki>''
[[Exemplo 4.1.4 - Solução]]
'''Solução:''' Para cada valor de i,tanto o laço do 'j' como o do 'k' sao executados. Assim a cada laço do i, o número de declarações de impressão executado é i no primeiro laço mais n-i no segundo laço. Portanto para cada i, o numero de impressoes é i + (n-i) = n.
====Exemplo 4.1.5====
''Encontre o numero de palavras com 10 letras sem repeti-las:''
''(a) que não tenha vogais.''
''(b) que começam com uma vogal.''
''(c) que tenha C e V nas extremidades (em qualquer ordem).
''(d) que tenha vogais nas duas primeiras posições.
[[Exemplo 4.1.5 - Solução]]
'''Solução:'''
Para resolver o problema é ter em mente uma fila de dez espaços em branco :
a) Cada um dos 10 espaços em branco da cadeia deve conter 1 das 21 consoantes,sem repeti-las.Pela regra do produto: 21 X 20 X 19 X 18 X ... X 12.
b)Existem 5 possibilidades da primeira letra ser uma vogal.Se a vogal for colocada no primeiro espaço em branco existem 25 maneiras para preencher no segundo espaço,24 maneiras de preencher o terceiro espaço,etc . 5 x 25 x 24 x 23 x ... x 18 x 17.
c)Primeiramente contamos o número de maneiras de preencher os 10 espaços começando com C e terminando com V,o numero de manerias de preencher as oito letras restantes é 24 x 23 x ... x 18 x 17;
<nowiki> C _ _ _ _ _ _ _ _ V</nowiki>
Da mesma forma,o número de palavras,porem agora,começando com V e terminado com C, 24 x 23 x ... x 18 x 17;
<nowiki> V _ _ _ _ _ _ _ _ C</nowiki>
Logo,pela regra da soma :
<nowiki> (24 x 23 x ... x 18 x 17) + (24 x 23 x ... x 18 x 17) = = 2 x (24 x 23 x ... x 18 x 17)</nowiki>
d) Primeiramente vamos contar o número de maneiras de colocar as vogais nos dois primeiros espaços em branco.Podemos escolher qualquer uma das 5 vogais para a primeiro espaço e das 4 vogais restantes para o 2 espaço : 5 x 4=20 maneiras de colocar duas vogais nas duas primeiras posições.
Em seguida, vamos preencher os 8 espaços restantes com 24 letras que faltam.Sendo feito da seguinte forma : 24 x 23 x ... x 18 x 17 maneiras.
Portanto, o número de maneiras de colocar vogais nois dois primeiros espaços e oito letras nos restantes dos espaços é: 5 x 25 x 24 x 23 x ... x 18 x 17
====Exemplo 4.1.6====
''10 homens e 10 mulheres estão em uma fila:
''(a) encontre Encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila.
''(b) encontre Encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila se duas pessoas do mesmo sexo não podem ficar lado a lado;
''(c) encontre Encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila se Beryl, Carol, e Darryl querem ficar juntas nesta sequencia (Carol, Beryl, and Darryl; ou Darryl, Beryl, e Carol).
[[Exemplo 4.1.6 - Solução]] '''Solução:''' a)Há 20 pessoas;Portanto eles podem ser colocados em uma fila: 20 x 19 x 18 x....x 1 = 20! b)se duas pessoas do mesmo sexo não podem ficar lado a lado;Entao há dois padroes possiveis, usando M para Masulino e F para Feminino: <nowiki> MFMFMFMFMFMFMFMFMFMF e FMFMFMFMFMFMFMFMFMFM.</nowiki> Se contar o numero de maneiras de se obter a primeira possibilidade, dobramos ela para chegarmos ao resultado final.O Primeiro homem pode ser escolhido em 10 maneiras, a Primeira mulher pode ser escolhida de 10 Maneiras, o homem Segundo pode ser escolhido de 9 maneiras, etc.Assim,pela regra do produto temos :10 x 10 x 9 x 9 x ... x 2 x 2 x 1 x 1 ou (10!)² maneiras. c)Considerando primeiro os arranjos onde Beryl,Carol e Darryl ficam um ao lado do outro,nessa ordem.Colocando as outras 17 pessoas na fileira.o que pode ser feito em 17! Maneiras.Nao importa como as 17 pessoas sao colocadas na fila,Beryl,Carol e Darryl,pode ser inserido,nessa ordem,entre duas das 17, ou então colocado em uma das duas extremidades. No entanto, uma vez que escolher um local para colocar Beryl, Carol, e Darryl, existem 3! = 6 maneiras de colocar Beryl, Carol, e Darryl nesse ponto --- BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB. Portanto, a resposta é obtida colocando os outros 17 em uma fileira; escolher um dos 18 pontos para Beryl, Carol, e Darryl; e organizar os três em um local (em 3! maneiras). Assim, a resposta é: 17! x 3!
====Exemplo 4.1.7====
''Encontre o número de palavras 10 letras :
''(a) não Não contenha vogais.
''(b) começar Começar com uma vogal.
''(c) ter Ter vogais nas duas primeiras posições.
''(d) começar Começar com C e terminam com V.
''(e) começar Começar com C ou terminar com V.
''Para resolver o problema é ter em mente uma fila de dez espaços em branco :
[[Exemplo 4.1.2 7 - Solução]]
'''Solução:'''===Exemplos da Seção 4.2===
a) Cada um dos 10 espaços em branco da cadeia deve conter 1 das 21 consoantes,como podemos repeti-las===== Exemplo 4.Pela regra do produto: 21 X 21 X 21 X 21 X 2... X 21 1 ===== 21^10 ; b)Há cinco opções para uma vogal ser colocada na primeira posição, e não há restrições sobre os outros nove letras,por isso : 5 x 26^9 c)Se essas vogais devem estar nas duas primeiras posições e as letras podem ser repetidas, obtém-se o produto: 5² x 26^8
d)Se ''Provar que em qualquer grupo de três números inteiros positivos, existem pelo menos dois, cuja a palavra tem a forma : Csoma é par.(Pág...V existem 26 maneiras para preencher cada uma dos oito espaços. Portanto, há 26^8 palavras desta forma.314)''
e)Precisa-se usar o princípio da inclusão-exclusão para evitar a dupla contagem[[Exemplo 4.2.Sendo A¹ o conjunto de todas as palavras com 10 letras que começam com C e A² o conjunto de todas as palavras com 10 letras que terminam com V: A¹ U A² = |A¹|+|A²| - |A¹ n A²| = 26^9 + 26^9 1 - (26^8);Solução]]
===Exemplos da Seção == Exemplo 4.2.2 =====
===== Exemplo 4''Se forem escolhidos inteiros positivos aleatoriamente, qual é o número mínimo que podemos garantir que dois dos números escolhidos sejam congruentes módulo 6.2.1 =====(pág 314)''
'''Provar que em qualquer grupo de três números inteiros positivos, existem pelo menos dois, cuja a soma é par[[Exemplo 4. (pág 314)'''2.2 - Solução]]
[[Contagem: ===== Exemplo 1 - Solução]]4.2.3 =====
===== Contagem: Exemplo 2 ====='''Se forem escolhidos inteiros positivos aleatoriamenteProve que em qualquer conjunto de 700 palavras em inglês, qual é deve haver pelo menos duas que começam com o número mínimo que podemos garantir que dois dos números escolhidos sejam congruentes módulo 6mesmo par de letras (na mesma ordem), por exemplo, ST OP e STAndard. (pág 314)'''
[[Contagem: Exemplo 4.2 .3 - Solução]]
===== Contagem: Exemplo 3 4.2.4 =====
''Cada tipo de peça de uma máquina feita em uma fábrica é carimbada com um código do formulário de letter-digit-digit, onde os dígitos podem ser repetidos. Prove que em qualquer conjunto de 700 palavras em inglês, deve haver se 8000 peças são feitas, então, pelo menos duas que começam com , quatro delas devem ter o mesmo par de letras (na mesma ordem), por exemplo, ST OP e STAndardcódigo carimbadas.(pág 314. 315)''
[[Contagem: Exemplo 3 4.2.4 - Solução]]
===== Exemplo 4.2.5 =====
''Cada aluno é classificado como um membro de uma das seguintes classes: Freshman, Sophomore, Junior, Senior. Encontrar o número mínimo de estudantes que devem ser escolhidos de modo a garantir que, pelo menos, oito pertencem à mesma classe.(pág. 315)''
'''EXEMPLO (E4, página 315)'''Cada tipo de peça de uma máquina feita em uma fábrica é carimbada com um código do formulário de letter-digit-digit, onde os dígitos podem ser repetidos[[Exemplo 4. Prove que, se 8000 peças são feitas, então, pelo menos, quatro delas devem ter o mesmo código carimbadas2.5 - Solução]]
'''Solução:'''O numero de codigos possiveis 26 x 10 x 10 = 2600==Exemplos adicionais relativos a Seção 4. Desde que,8000 > 3 x 2600,pelo menos 4 tenham o mesmo codigo.===
'''Exemplo 4.3.1'''
'''EXEMPLO Uma classe tem 30 alunos matriculados. De quantas maneiras pode-se: (E5, página 315pág 321)'''Cada aluno é classificado como um membro de uma das seguintes classes: Freshman, Sophomore, Junior, Senior. Encontrar o número mínimo de estudantes que devem ser escolhidos de modo a garantir que, pelo menos, oito pertencem à mesma classe.
'''Solução:'''De um grupo de 28 estudantes podem ser 7 pertencentes (a cada classe.Mas se há 29 estudantes, pelo menos 8 devem ser membros da mesma classe.Portanto, o número mínimo de estudantes que deve ser escolhido é de 29.) Colocar 4 alunos em uma fila para uma foto?
Em outras palavras, nós estamos olhando ''(b) Colocar todos os 30 alunos em uma fila para o número mínimo N tal que <math>|\frac{N}{4} | = 8</math>. O numero minimo é 29.uma foto?
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.3==='''EXEMPLO (E1, pág 321c)Colocar todos os 30 alunos em duas filas de 15 cada para uma foto?'''Uma classe tem 30 alunos matriculados. De quantas maneiras pode-se:
(a) Colocar [[Exemplo 4 alunos em uma fila para uma foto?.3.1 - Solução]]
(b) Colocar todos os 30 alunos em uma fila para uma foto?'''Exemplo 4.3.2 '''
(c) Colocar todos ''Um certo tipo de botão de uma fechadura de porta exige que você insira um código antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.O bloqueio é programado para reconhecer seis códigos de 4 dígitos diferentes, podendo repetir os 30 alunos em duas filas algarismos de 15 cada para uma fotocódigo. Quantos conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis existem?(pág 324)''
'''[[Exemplo 4.3.2 - Solução:'''(a) Precisamos preencher a seguinte linha de quatro espaços em branco: 30 x 29 x 28 x 27. Este é o número de permutações de 4 a partir de um conjunto de 30, que é P( 30 ,4 );]]
(b)A resposta pode ser visualizado como o número de maneiras para preencher uma fila com 30 lacunas com os 30 estudantes, que é 30! , ou P( 30, 30 );
'''Exemplo 4.3.3 (cpág 324) Podemos ver que o número de maneiras para preencher em duas filas,é cada uma com 15 espaços em branco, com os alunos 30:'''
Podemos então, começar por preencher a linha de inferior, o que pode ser feito de 30 x 29 x 28 x … x 17 x 16 maneiras. Em seguida, preencher linha superior, que pode ser feito de 15! = 15 x 14 x 13… x 2 x 1 maneiras. Portanto a resposta é (30 x 29 x 28 x … x 17 x 16) x (15 x 14 x 13 x … x 2 x 1) = 30!.
'''EXEMPLO (E2, página 324)'''Um certo tipo de botão de uma fechadura de porta exige que você insira um código antes que a fechadura abra[[Exemplo 4.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.O bloqueio é programado para reconhecer seis códigos de 4 dígitos diferentes, podendo repetir os algarismos de cada código3. Quantos conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis existem?3 - Solução]]
'''Solução:Exemplo 4.3.4'''Há 5⁴=625 possíveis códigos com quatro dígitos. Portanto, há C(625,6) conjuntos diferentes ''Quantas maneiras existem de escolher uma comissão de cinco pessoas consistindo de três mulheres e dois homens de um grupo de códigos reconhecíveis.EXEMPLO dez mulheres e sete homens?(E3, página pág 324)…..''
'''EXAMPLE (E4, page 324)'''Quantas maneiras existem de escolher uma comissão de cinco pessoas consistindo de três mulheres e dois homens de um grupo de dez mulheres e sete homens?[[Exemplo 4.3.4 - Solução]]
'''Solução:Exemplo 4.3.5 ''' O número de maneiras de escolher três mulheres é C( 10,3 ) e o numero de maneiras de escolher 10 homens é C(7,2).Usando a regra do produto para escolher três mulheres e dois homens é C( 10,3 ) x C(7,2) = 2,520.
''Sendo o conjunto S = {1,2,3,...,19}. Encontre o número de subconjuntos de S com numeros iguais de inteiros pares e impares.(pág 324)''
'''EXEMPLO (E5, page 324)'''Sendo o conjunto S = {1,2,[[Exemplo 4.3,...,19}. Encontre o número de subconjuntos de S com numeros iguais de inteiros pares e impares.5 - Solução]]
'''Solução:Exemplo 4.3.6 '''Note que, existem 10 inteiros ímpares e 9 inteiros pares em S. Os subconjuntos a serem contados deve consistir de k inteiros ímpares e k inteiros pares, onde k=1,2,3,...,9. Portanto, pela regra do produto, o número de cada tipo é C(10, k) x C(9,k). Portanto, pela regra da soma, a resposta é C(10, k) x C(9,k) + C(10, k) x C(9,k)
''Encontre maneiras de dividir um baralho de 52 cartas, em:(pág 324)''
''a)Em 4 pilhas iguais, classificado em A,B,C,D;
''b)Em 4 pilhas iguais, sem classificação;''
'''EXEMPLO (E6, page 324)'''Encontre maneiras de dividir um baralho de 52 cartas, em:[[Exemplo 4.3.6 - Solução]]
a)Em '''Exemplo 4 pilhas iguais, classificado em A,B,C,D;.3.7 '''
b''Suponha que S = {1,2, . . ., 25} . Encontre o numero de subconjuntos de tamanho 5,tal que T:(pág 324)Em 4 pilhas iguais, sem classificação;''
'''Solução:'''a) Cada pilha deve conter 52/4 = 13 cartas. Na sequencia, empilharemos A,em seguida B, depois C, e finalmente D. Então teremos C(52,13) maneiras de obter a pilha de A, C(39,13) maneiras consista de obter a pilha de B, C(26,13) maneiras de obter a pilha de C, 2 numeros impares e C(13,13)=1 maneiras de obter a pilha de D.Portanto pela regra do produto,teremos :C(52,13) x C(39,13) x C(26,13) x C(13,13) = <math>\frac{52!}{13!3 numeros pares.29!} .\frac{39!}{13!.26!} .\frac{26!}{13!.13!} .\frac{13!}{13!.0!} = \frac{52!}{(13!)^4} </math>
''b) Se nas 4 pilhas não houver classificação,então podemos permutar as quatro pilhas em 4! Maneirasconsiste de exatamente três números primos. Daí a resposta é a mesma do iten anterior dividido por 4!:<math>\frac{C(52,13).C(39,13).C(26,13).C(13,13)}{4!} = \frac{52!}{(13!)^4.4!}</math>
''c) tenha a soma dos seus elementos, menor que 20.
'''EXEMPLO (E7d) tem, page 324)'pelo menos, um número par na mesma.''
Supunha que S = {1,2, [[Exemplo 4. 3. ., 25} . Encontre o numero de subconjuntos de tamanho 5,tal que T:7 - Solução]]
===Exemplos adicionais relativas a) consista de 2 numeros impares e 3 numeros paresSeção 4.4==='''Exemplo 4.4.1 '''
b''Escreva a expansão de (x+2y) consiste de exatamente três números primos³.(pág 328)''
c) tenha a soma dos seus elementos, menor que 20[[Exemplo 4.4.1 - Solução]]
d) tem, pelo menos, um número par na mesma'''Exemplo 4.4.2 '''
''Encontre o coeficiente <math>a^{17}b^{23}</math> na expansão de <math>(3a-7b)^{40}</math>. (pág 328)''
'''Solução:'''a) Há 13 numeros impares; podemos escolher dois em C(13,2) maneiras[[Exemplo 4.Há 12 numeros pares; podemos escolher 3 em C(12,3) maneiras. Usando a regra do produto para encontrar o número de subconjuntos T, temos subconjuntos4.2 - Solução]]
b) Os numeros primos em S são 2,3,5,7,11,13,17,19, and 23, então temos C(9,3) maneiras de selecionar 3 desses numeros'''Exemplo 4.Mas também precisa selecionar 2 dos 16 números compostos para fazer T ter tamanho cinco;então C(16,2) maneiras para isso4.Portanto pela regra do produto temos C(9,3) x C(16,2)=10.080 subconjuntos possiveis T.'''
c) Há poucos subconjuntos com esta propriedade. Então é melhor neste caso, contar diretamente o conjunto ''Escreva a expansão de cinco números cuja soma é inferior a 20:1,<math>(x^2,3,4,5, -\frac{1,2,3,4,6, 1,2,3,4,7,1,2,3,4,}{x} )^8, 1,2,3,4,9, 1,3,4,5,6.Assim, existem seis desses subconjuntos possiveis</math>.(pág 328)''
d) É mais fácil para contar o número total de subconjuntos de tamanho 5, e depois subtrair o número de subconjuntos sem números pares neles:<math>C(25, 5)[[Exemplo 4.4.3 -C(13,5) = 51,843</math>Solução]]
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.45==='''EXEMPLO (E1, página 328)Exemplo 4.5.1 '''Escreva a expansão de (x+2y)³.
'''SoluçãoUma padaria vende quatro tipos de biscoitos:'''chocolate, geleia, açúcar, manteiga de amendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a padaria tem pelo teorema binomialmenos 30 de cada tipo de biscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher:<math>(x+2ypág 338)^3 = \binom{3}{0} x^3(2y)^0+\binom{3}{1} x^2(2y)^1+\binom{3}{2} x^1(2y)^2+\binom{3}{3} x^0(2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3</math>''
'''EXEMPLO (E2, page 328a)'''Encontre o coeficiente <math>a^{17}b^{23}</math> na expansão Ao menos 3 biscoitos de chocolate e pelo menos 6 biscoitos de manteiga de <math>(3a-7b)^{40}</math>.amendoim
'''Solução:'''Expandindo <math>(3a-7bb)^{40}</math> usando o teorema binomial, localizamos o termo com o produto <math>a^{17}b^{23}</math>, Exatamente 3 biscoitos de chocolate e então encontramos o coeficiente:exatamente 6 biscoitos de manteiga de amendoim
<math>(3a-7b''c)^{40} = (3a+(-7b))^{40}</math>No máximo 5 biscoitos de açúcar
= <math>\cdots + \binom{40}{17} (3a''d)^{17}(-7b)^{23} + \cdots</math>= <math>\cdots + \binom{40}{17} 3^{17}(-7)^23a^{17}b^{23} + \cdots</math>Pelo menos um dos quatro tipos de biscoitos.''
Assim, o coeficiente de <math>a^{17}b^{23}</math> é <math>\binom{40}{17} 3^{17}(-7)^{23}</math>, que também pode ser escrito como <math>\binom{40}{23} 3^{17}([[Exemplo 4.5.1 -7)^{23}</math>.Solução]]
'''EXEMPLO (E3, page 328)'''
Escreva a expansão de <math>(x^2-\frac{1}{x} )^8</math>
'''Solução:Exemplo 4.5.2 '''Usa-se o teorema binomial. Em seguida, várias regras exponenciais para simplificar os termos.
<math>''Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED? (x^2-\frac{1}{x} pág 339)^8 = \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} (x^2)^i(\frac{-1}{x} )^{8-i}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} \frac{x^{2i}(-1)^{8-i}}{x^{8-i}}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} x^{3i-8}(-1)^{8-i}</math><math>= x^{-8}-8x^{-5}+28x^{-2}-56x^{1}+70x^{4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math><math>= \frac{1}{x^8} -\frac{8}{x^5} +\frac{28}{x^2} -56x^{1}+70x^{4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math>''
===Exemplos adicionais relativas a Seção [[Exemplo 4.5==='''EXEMPLO (E1, page 338)'''Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos: chocolate, geleia, açúcar, manteiga de amendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de biscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher:2 - Solução]]
a) Ao menos 3 biscoitos de chocolate e pelo menos 6 biscoitos de manteiga de amendoim
b) Exatamente '''Exemplo 4.5.3 biscoitos de chocolate e exatamente 6 biscoitos de manteiga de amendoim'''
c) No máximo ''Um frasco contém 30 moedas de 1 centavo, 20 moedas de 5 biscoitos centavos, 20 moedas de açúcar10 centavos, e 15 moedas de 25 centavos. (As moedas de cada denominação são consideradas idênticas.) (pág 339)''
d''(a) Pelo menos um dos quatro tipos Encontre o número de biscoitosmaneiras de colocar todas as 85 moedas em uma fileira.
Solução:''(b) Encontre o número de possíveis ‘punhados’ de 12 moedas.''
'''EXEMPLO (E2, page 339)'''Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED? [[Exemplo 4.5.3 - Solução]]
'''Solução: '''
Na palavra há dois ‘D’, três ‘E’, um ‘C’, um ‘I’ e um ‘V’. Portanto, o número de permutações de DECEIVED é:
<math>\frac{8!}{2!.3!.1!.1!.1!} = \frac{8!}{2!.3!}</math>
'''EXEMPLO (E3, page 339)Exemplo 4.5.4'''Um frasco contém 30 moedas de 1 centavo, 20 moedas de 5 centavos, 20 moedas de 10 centavos, e 15 moedas de 25 centavos. (As moedas de cada denominação são consideradas idênticas.)
(a) Encontre o número de ''De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras de colocar todas as 85 moedas “CHEMISTS” em uma fileira.fila? (pág 339)''
(b) Encontre o número de possíveis ‘punhados’ de 12 moedas[[Exemplo 4.5.4 - Solução]]
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.6==='''Solução:'''(a) A resposta não é 85! uma vez que as moedas não são todos distintosExemplo 4.6. Pense no problema como um de fazer uma palavra com 30 p's, 20 n1's, 20 d's, e 15 q's. Tendo em conta as cartas idênticas, temos<math>\frac{85!}{30!.20!.20!.15!}</math>
(b) Quando se contar o número de ‘punhados’ de 12 moedas, estamos apenas preocupados com o número de cada denominação escolhida. Por exemplo, poderíamos escolher 9 moedas ''Coloque as seguintes permutações de 1 centavos, 2 de 5 centavos, e uma de 25 centavos3, ou podemos escolher três de cada denominação. Assim, o número de um ‘punhados’ de 12 moedas é igual ao número inteiro não negativo de soluções para a equação:<math>p+n+d+q = 12</math>onde P é o número de moedas de 1 centavo4, n é o número de moedas de 5 centavos, d é o número de moedas de 10 centavos6, e q é o número de 25 centavos. O número de soluções para esta equação éna ordem lexicográfica :<math>C(15,3pág 345) = 455</math>''
'''EXEMPLO (E4<math>461325, page 339)'''De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras de “CHEMISTS” em uma fila? '''Solução:''' Existem dois padrões a serem considerados:326145, 516243, 324165, 461235, 324615, 462135</math>
(a) 7 letras distintas são selecionados (ou seja, apenas um S é selecionado), e[[Exemplo 4.6.1 - Solução]]
(b) os dois S serem selecionados.
No primeiro teste padrão, existem 7! Maneiras de colocar as 7 letras distintas em uma fileira'''Exemplo 4.6.2'''
No segundo padrão''Encontre a permutação de 1, 2, 3, 4, as sete letras selecionadas têm dois S’s5, por isso há 7! / 2! Maneiras de colocar essas letras 6 imediatamente após 263.541 em uma fileiraordem lexicográfica. (pág 345)''
Adicionando os totais obtidos a partir dos dois casos, temos o número total de maneiras de colocar sete dos oito cartas em uma fileira:<math>7!+[[Exemplo 4.6.\frac{7!}{2!}</math>- Solução]]
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.6===
'''EXEMPLO (E1, página 345)'''
Coloque as seguintes permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, na ordem lexicográfica :
<math>461325, 326145, 516243, 324165, 461235, 324615, 462135</math>'''Exemplo 4.6.3 '''
'''Solução:'Encontre a permutação de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente antes de 261.345 em ordem lexicográfica. (pág 345)''Procedendo do menor ao maior, as permutações são:
<math>324165, 324615, 326145, 461235, 461325, 462135, 516243</math>[[Exemplo 4.6.3 - Solução]]
'''EXEMPLO (E2, página 345)'''
Encontre a permutação de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente após 263.541 em ordem lexicográfica.
[[Solução: EXEMPLO (E2, página 345)]]'''Exemplo 4.6.4 '''
'''EXEMPLO (E3, página 345)'''Encontre a permutação Se as permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente antes de 261.345 forem colocadas em ordem lexicográfica, com 123.456 na posição 1, 123.465 na posição 2, etc., encontrar a permutação na posição 362. (pág 345)''
[[Exemplo 4.6.4 - Solução: EXEMPLO (E3, página 345)]]
'''EXEMPLO (E4, página 345)'''
Se as permutações de 1,2,3,4,5,6 forem colocadas em ordem lexicográfica, com 123.456 na posição 1, 123.465 na posição 2, etc., encontrar a permutação na posição 362.
[[Solução: EXEMPLO (E4, página 345)]]'''Exemplo 4.6.5 '''
'''EXEMPLO (E5, página 345)'''Se as permutações de 1,2,3,4,5 forem colocadas em ordem lexicográfica, em que posição estará a permutação 41253?(pág 345)''
[[Exemplo 4.6.5 - Solução: EXEMPLO (E5, página 345)]]