====Exemplo 4.1.2====
''Um certo tipo de botao de uma fechadura de porta exige que voce insira um codigo antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.''
''(a) Se voce escolher um código de entrada que consiste de uma sequencia de 4 digitos, com números repetidos permitidos, quantos códigos de entrada são possíveis?''
''(b) Se voce escolher um código de entrada que consiste de uma sequencia de 4 digitos, sem repetir os números, quantos códigos de entrada são possíveis?''
[[Exemplo 4.1.2 - Solução]]
====Exemplo 4.1.3====
''Conte os numeros de instruções de impressão nesse algoritmo:
<nowiki>
de i=1 até n
de k=1 ate n
print hello
fim </nowiki>''
[[Exemplo 4.1.3 - Solução]]
====Exemplo 4.1.4====
''Conte os numeros de instruções de impressão nesse algoritmo:
<nowiki>
de i=1 até n
de k=i+1 ate n
print hello
fim </nowiki>''
[[Exemplo 4.1.4 - Solução]]
====Exemplo 4.1.5====
''Encontre o numero de palavras com 10 letras sem repeti-las:''
''(a) que não tenha vogais.''
''(b) que começam com uma vogal.''
''(c) que tenha C e V nas extremidades (em qualquer ordem).
''(d) que tenha vogais nas duas primeiras posições.
[[Exemplo 4.1.5 - Solução]]
====Exemplo 4.1.6====
''10 homens e 10 mulheres estão em uma fila:
''(a) encontre Encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila.
''(b) encontre Encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila se duas pessoas do mesmo sexo não podem ficar lado a lado;
''(c) encontre Encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila se Beryl, Carol, e Darryl querem ficar juntas nesta sequencia (Carol, Beryl, and Darryl; ou Darryl, Beryl, e Carol).
[[Exemplo 4.1.6 - Solução]]
====Exemplo 4.1.7====
''Encontre o número de palavras 10 letras :
''(a) não Não contenha vogais.
''(b) começar Começar com uma vogal.
''(c) ter Ter vogais nas duas primeiras posições.
''(d) começar Começar com C e terminam com V.
''(e) começar Começar com C ou terminar com V.
''Para resolver o problema é ter em mente uma fila de dez espaços em branco :
[[Exemplo 4.1.2 7 - Solução]]
'''Solução:'''===Exemplos da Seção 4.2===
a) Cada um dos 10 espaços em branco da cadeia deve conter 1 das 21 consoantes,como podemos repeti-las===== Exemplo 4.Pela regra do produto: 21 X 21 X 21 X 21 X 2... X 21 1 ===== 21^10 ; b)Há cinco opções para uma vogal ser colocada na primeira posição, e não há restrições sobre os outros nove letras,por isso : 5 x 26^9
c''Provar que em qualquer grupo de três números inteiros positivos, existem pelo menos dois, cuja a soma é par. (Pág. 314)Se essas vogais devem estar nas duas primeiras posições e as letras podem ser repetidas, obtém-se o produto: 5² x 26^8 ''
d)Se a palavra tem a forma : C[[Exemplo 4.2...V existem 26 maneiras para preencher cada uma dos oito espaços. Portanto, há 26^8 palavras desta forma.1 - Solução]]
e)Precisa-se usar o princípio da inclusão-exclusão para evitar a dupla contagem===== Exemplo 4.Sendo A¹ o conjunto de todas as palavras com 10 letras que começam com C e A² o conjunto de todas as palavras com 10 letras que terminam com V: A¹ U A² 2.2 ==== |A¹|+|A²| - |A¹ n A²| = 26^9 + 26^9 - (26^8);
===Exemplos da Seção 4''Se forem escolhidos inteiros positivos aleatoriamente, qual é o número mínimo que podemos garantir que dois dos números escolhidos sejam congruentes módulo 6.2===(pág 314)''
===== [[Exemplo 4.2.1 =====2 - Solução]]
'''Provar que em qualquer grupo de três números inteiros positivos, existem pelo menos dois, cuja a soma é par===== Exemplo 4. (pág 314)'''2.3 =====
[[Contagem: Exemplo 1 - Solução]]''Prove que em qualquer conjunto de 700 palavras em inglês, deve haver pelo menos duas que começam com o mesmo par de letras (na mesma ordem), por exemplo, ST OP e STAndard.(pág 314)''
===== Contagem: [[Exemplo 4.2 ====='''Se forem escolhidos inteiros positivos aleatoriamente, qual é o número mínimo que podemos garantir que dois dos números escolhidos sejam congruentes módulo 6. (pág 314)'''3 - Solução]]
[[Contagem: ===== Exemplo 4.2 - Solução]].4 =====
===== Contagem: Exemplo 3 =====''Cada tipo de peça de uma máquina feita em uma fábrica é carimbada com um código do formulário de letter-digit-digit, onde os dígitos podem ser repetidos. Prove que, se 8000 peças são feitas, então, pelo menos, quatro delas devem ter o mesmo código carimbadas.(pág. 315)''
Prove que em qualquer conjunto de 700 palavras em inglês, deve haver pelo menos duas que começam com o mesmo par de letras (na mesma ordem), por exemplo, ST OP e STAndard[[Exemplo 4.(pág 314)2.4 - Solução]]
[[Contagem===== Exemplo 4.2.5 =====''Cada aluno é classificado como um membro de uma das seguintes classes: Exemplo 3 - Solução]]Freshman, Sophomore, Junior, Senior. Encontrar o número mínimo de estudantes que devem ser escolhidos de modo a garantir que, pelo menos, oito pertencem à mesma classe.(pág. 315)''
[[Exemplo 4.2.5 - Solução]]
'''EXEMPLO (E4, página 315)'''Cada tipo de peça de uma máquina feita em uma fábrica é carimbada com um código do formulário de letter-digit-digit, onde os dígitos podem ser repetidos. Prove que, se 8000 peças são feitas, então, pelo menos, quatro delas devem ter o mesmo código carimbadas===Exemplos adicionais relativos a Seção 4.3===
'''Solução:Exemplo 4.3.1'''O numero de codigos possiveis 26 x 10 x 10 = 2600. Desde que,8000 > 3 x 2600,pelo menos 4 tenham o mesmo codigo.
''Uma classe tem 30 alunos matriculados. De quantas maneiras pode-se: (pág 321)
'''EXEMPLO (E5, página 315a)'''Cada aluno é classificado como um membro de Colocar 4 alunos em uma das seguintes classes: Freshman, Sophomore, Junior, Senior. Encontrar o número mínimo de estudantes que devem ser escolhidos de modo a garantir que, pelo menos, oito pertencem à mesma classe.fila para uma foto?
'''Solução:'''De um grupo de 28 estudantes podem ser 7 pertencentes a cada classe.Mas se há 29 estudantes, pelo menos 8 devem ser membros da mesma classe.Portanto, o número mínimo de estudantes que deve ser escolhido é de 29.(b) Colocar todos os 30 alunos em uma fila para uma foto?
Em outras palavras, nós estamos olhando ''(c) Colocar todos os 30 alunos em duas filas de 15 cada para o número mínimo N tal que <math>|\frac{N}{4} | = 8</math>. O numero minimo é 29.uma foto?''
===Exemplos adicionais relativas a Seção [[Exemplo 4.3==='''EXEMPLO (E1, pág 321)'''Uma classe tem 30 alunos matriculados. De quantas maneiras pode1 -se:Solução]]
(a) Colocar '''Exemplo 4 alunos em uma fila para uma foto?.3.2 '''
(b) Colocar todos os 30 alunos em ''Um certo tipo de botão de uma fila fechadura de porta exige que você insira um código antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.O bloqueio é programado para uma fotoreconhecer seis códigos de 4 dígitos diferentes, podendo repetir os algarismos de cada código. Quantos conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis existem?(pág 324)''
(c) Colocar todos os 30 alunos em duas filas de 15 cada para uma foto?[[Exemplo 4.3.2 - Solução]]
'''Solução:'''
(a) Precisamos preencher a seguinte linha de quatro espaços em branco: 30 x 29 x 28 x 27. Este é o número de permutações de 4 a partir de um conjunto de 30, que é P( 30 ,4 );
'''Exemplo 4.3.3 (bpág 324)A resposta pode ser visualizado como o número de maneiras para preencher uma fila com 30 lacunas com os 30 estudantes, que é 30! , ou P( 30, 30 );'''
(c) Podemos ver que o número de maneiras para preencher em duas filas,é cada uma com 15 espaços em branco, com os alunos 30:...
Podemos então, começar por preencher a linha de inferior, o que pode ser feito de 30 x 29 x 28 x … x 17 x 16 maneiras[[Exemplo 4. Em seguida, preencher linha superior, que pode ser feito de 15! = 15 x 14 x 13… x 2 x 1 maneiras3. Portanto a resposta é (30 x 29 x 28 x … x 17 x 16) x (15 x 14 x 13 x … x 2 x 1) = 30!3 - Solução]]
'''EXEMPLO (E2, página 324)Exemplo 4.3.4'''Um certo tipo de botão ''Quantas maneiras existem de escolher uma fechadura de porta exige que você insira um código antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes, numerados comissão de 1 a 5.O bloqueio é programado para reconhecer seis códigos cinco pessoas consistindo de 4 dígitos diferentes, podendo repetir os algarismos três mulheres e dois homens de cada código. Quantos conjuntos diferentes um grupo de códigos reconhecíveis existemdez mulheres e sete homens?(pág 324)''
'''Solução:'''Há 5⁴=625 possíveis códigos com quatro dígitos. Portanto, há C(625,6) conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis.EXEMPLO (E3, página 324)…[[Exemplo 4.3.4 - Solução]]
'''EXAMPLE (E4, page 324)Exemplo 4.3.5 '''Quantas maneiras existem de escolher uma comissão de cinco pessoas consistindo de três mulheres e dois homens de um grupo de dez mulheres e sete homens?
'''Solução:''' O número de maneiras de escolher três mulheres é C( 10Sendo o conjunto S = {1,2,3 ) e ,...,19}. Encontre o numero número de maneiras subconjuntos de escolher 10 homens é C(7,2)S com numeros iguais de inteiros pares e impares.Usando a regra do produto para escolher três mulheres e dois homens é C( 10,3 ) x C(7,2pág 324) = 2,520.''
[[Exemplo 4.3.5 - Solução]]
'''EXEMPLO (E5, page 324)Exemplo 4.3.6 '''Sendo o conjunto S = {1,2,3,...,19}. Encontre o número de subconjuntos de S com numeros iguais de inteiros pares e impares.
'''Solução:'''Note que, existem 10 inteiros ímpares e 9 inteiros pares em S. Os subconjuntos a serem contados deve consistir Encontre maneiras de k inteiros ímpares e k inteiros pares, onde k=1,2,3,...,9. Portanto, pela regra do produto, o número dividir um baralho de cada tipo é C(1052 cartas, k) x Cem:(9,k). Portanto, pela regra da soma, a resposta é C(10, k) x C(9,k) + C(10, k) x C(9,kpág 324)''
''a)Em 4 pilhas iguais, classificado em A,B,C,D;
''b)Em 4 pilhas iguais, sem classificação;''
[[Exemplo 4.3.6 - Solução]]
'''EXEMPLO (E6, page 324)Exemplo 4.3.7 '''Encontre maneiras de dividir um baralho de 52 cartas, em:
a)Em 4 pilhas iguais''Suponha que S = {1, classificado em A2,B. . .,C25} . Encontre o numero de subconjuntos de tamanho 5,D;tal que T:(pág 324)''
b''a)Em 4 pilhas iguais, sem classificação;consista de 2 numeros impares e 3 numeros pares.
'''Solução:'''ab) Cada pilha deve conter 52/4 = 13 cartas. Na sequencia, empilharemos A,em seguida B, depois C, e finalmente D. Então teremos C(52,13) maneiras consiste de obter a pilha de A, C(39,13) maneiras de obter a pilha de B, C(26,13) maneiras de obter a pilha de C, e C(13,13)=1 maneiras de obter a pilha de Dexatamente três números primos.Portanto pela regra do produto,teremos :C(52,13) x C(39,13) x C(26,13) x C(13,13) = <math>\frac{52!}{13!.29!} .\frac{39!}{13!.26!} .\frac{26!}{13!.13!} .\frac{13!}{13!.0!} = \frac{52!}{(13!)^4} </math>
b''c) Se nas 4 pilhas não houver classificação,então podemos permutar as quatro pilhas em 4! Maneiras. Daí a resposta é tenha a mesma do iten anterior dividido por 4!:<math>\frac{C(52,13).C(39,13).C(26soma dos seus elementos,13).C(13,13)}{4!} = \frac{52!}{(13!)^4menor que 20.4!}</math>
''d) tem, pelo menos, um número par na mesma.''
'''EXEMPLO (E7, page 324)'''[[Exemplo 4.3.7 - Solução]]
Supunha que S = {1,2, ==Exemplos adicionais relativas a Seção 4. 4==='''Exemplo 4. 4., 25} . Encontre o numero de subconjuntos de tamanho 5,tal que T:1 '''
''Escreva aexpansão de (x+2y) consista de 2 numeros impares e 3 numeros pares³.(pág 328)''
b) consiste de exatamente três números primos[[Exemplo 4.4.1 - Solução]]
c) tenha a soma dos seus elementos, menor que 20'''Exemplo 4.4.2 '''
d''Encontre o coeficiente <math>a^{17}b^{23}</math> na expansão de <math>(3a-7b) tem, pelo menos, um número par na mesma^{40}</math>.(pág 328)''
[[Exemplo 4.4.2 - Solução]]
'''Solução:Exemplo 4.4.3 '''a) Há 13 numeros impares; podemos escolher dois em C(13,2) maneiras.Há 12 numeros pares; podemos escolher 3 em C(12,3) maneiras. Usando a regra do produto para encontrar o número de subconjuntos T, temos subconjuntos.
b) Os numeros primos em S são 2,3,5,7,11,13,17,19, and 23, então temos C(9,3) maneiras ''Escreva a expansão de selecionar 3 desses numeros.Mas também precisa selecionar 2 dos 16 números compostos para fazer T ter tamanho cinco;então C<math>(16,x^2-\frac{1}{x} ) maneiras para isso^8</math>.Portanto pela regra do produto temos C(9,3pág 328) x C(16,2)=10.080 subconjuntos possiveis T.''
c) Há poucos subconjuntos com esta propriedade[[Exemplo 4. Então é melhor neste caso, contar diretamente o conjunto de cinco números cuja soma é inferior a 20:1,2,3,4,5, 1,2,3,4,6, 1,2,3,4,7,1,2,3,4,8, 1,2,3,4,9, 1,.3,4,5,6.Assim, existem seis desses subconjuntos possiveis.- Solução]]
d) É mais fácil para contar o número total de subconjuntos de tamanho ===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.5, e depois subtrair o número de subconjuntos sem números pares neles:===<math>C(25, 5)-C(13,'''Exemplo 4.5) = 51,843</math>.1 '''
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.4==='''EXEMPLO (E1Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos: chocolate, geleia, açúcar, página 328)'''Escreva manteiga de amendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a expansão padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de biscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher: (x+2ypág 338)³.''
'''Solução:'''pelo teorema binomial:<math>(x+2ya)^Ao menos 3 = \binom{3}{0} x^3(2y)^0+\binom{3}{1} x^2(2y)^1+\binom{3}{2} x^1(2y)^2+\binom{3}{3} x^0(2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3</math>biscoitos de chocolate e pelo menos 6 biscoitos de manteiga de amendoim
'''EXEMPLO (E2, page 328b)'''Encontre o coeficiente <math>a^{17}b^{23}</math> na expansão Exatamente 3 biscoitos de chocolate e exatamente 6 biscoitos de manteiga de <math>(3a-7b)^{40}</math>.amendoim
'''Solução:'''Expandindo <math>(3a-7bc)^{40}</math> usando o teorema binomial, localizamos o termo com o produto <math>a^{17}b^{23}</math>, e então encontramos o coeficiente:No máximo 5 biscoitos de açúcar
<math>(3a-7b''d)^{40} = (3a+(-7b))^{40}</math>Pelo menos um dos quatro tipos de biscoitos.''
= <math>\cdots + \binom{40}{17} (3a)^{17}([[Exemplo 4.5.1 -7b)^{23} + \cdots</math>= <math>\cdots + \binom{40}{17} 3^{17}(-7)^23a^{17}b^{23} + \cdots</math>Solução]]
Assim, o coeficiente de <math>a^{17}b^{23}</math> é <math>\binom{40}{17} 3^{17}(-7)^{23}</math>, que também pode ser escrito como <math>\binom{40}{23} 3^{17}(-7)^{23}</math>.
'''EXEMPLO (E3, page 328)Exemplo 4.5.2 '''Escreva a expansão de <math>(x^2-\frac{1}{x} )^8</math>
''Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED? (pág 339)'Solução:'''Usa-se o teorema binomial. Em seguida, várias regras exponenciais para simplificar os termos.
<math>(x^2-\frac{1}{x} )^8 = \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} (x^2)^i(\frac{-1}{x} )^{8-i}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} \frac{x^{2i}(-1)^{8-i}}{x^{8-i}}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} x^{3i-8}(-1)^{8-i}</math><math>= x^{-8}-8x^{-5}+28x^{-2}-56x^{1}+70x^{[[Exemplo 4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math><math>= \frac{1}{x^8} -\frac{8}{x^.5} +\frac{28}{x^.2} -56x^{1}+70x^{4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math>Solução]]
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.5===
'''EXEMPLO (E1, page 338)'''
Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos: chocolate, geleia, açúcar, manteiga de amendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de biscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher:
a) Ao menos '''Exemplo 4.5.3 biscoitos de chocolate e pelo menos 6 biscoitos de manteiga de amendoim'''
b) Exatamente 3 biscoitos ''Um frasco contém 30 moedas de 1 centavo, 20 moedas de 5 centavos, 20 moedas de chocolate 10 centavos, e exatamente 6 biscoitos 15 moedas de manteiga 25 centavos. (As moedas de amendoimcada denominação são consideradas idênticas.) (pág 339)''
c''(a) No máximo 5 biscoitos Encontre o número de açúcarmaneiras de colocar todas as 85 moedas em uma fileira.
d''(b) Pelo menos um dos quatro tipos Encontre o número de biscoitospossíveis ‘punhados’ de 12 moedas.''
[[Exemplo 4.5.3 - Solução:]]
'''EXEMPLO (E2, page 339)'''
Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED?
'''Solução: Exemplo 4.5.4'''Na palavra há dois ‘D’, três ‘E’, um ‘C’, um ‘I’ e um ‘V’. Portanto, o número de permutações de DECEIVED é: <math>\frac{8!}{2!.3!.1!.1!.1!} = \frac{8!}{2!.3!}</math>
'''EXEMPLO De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras de “CHEMISTS” em uma fila? (E3, page pág 339)'''Um frasco contém 30 moedas de 1 centavo, 20 moedas de 5 centavos, 20 moedas de 10 centavos, e 15 moedas de 25 centavos. (As moedas de cada denominação são consideradas idênticas.)
(a) Encontre o número de maneiras de colocar todas as 85 moedas em uma fileira[[Exemplo 4.5.4 - Solução]]
(b) Encontre o número de possíveis ‘punhados’ de 12 moedas===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.6==='''Exemplo 4.6.1'''
'''Solução:'''(a) A resposta não é 85! uma vez que Coloque as moedas não são todos distintos. Pense no problema como um seguintes permutações de fazer uma palavra com 30 p's1, 2, 3, 4, 5, 20 n's6, 20 dna ordem lexicográfica : (pág 345)'s, e 15 q's. Tendo em conta as cartas idênticas, temos<math>\frac{85!}{30!.20!.20!.15!}</math>
(b) Quando se contar o número de ‘punhados’ de 12 moedas, estamos apenas preocupados com o número de cada denominação escolhida. Por exemplo, poderíamos escolher 9 moedas de 1 centavos, 2 de 5 centavos, e uma de 25 centavos, ou podemos escolher três de cada denominação. Assim, o número de um ‘punhados’ de 12 moedas é igual ao número inteiro não negativo de soluções para a equação:<math>p+n+d+q = 12</math>onde P é o número de moedas de 1 centavo461325, 326145, 516243, n é o número de moedas de 5 centavos324165, d é o número de moedas de 10 centavos461235, e q é o número de 25 centavos. O número de soluções para esta equação é:<math>C(15324615,3) = 455462135</math> '''EXEMPLO (E4, page 339)'''De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras de “CHEMISTS” em uma fila? '''Solução:'''
Existem dois padrões a serem considerados:[[Exemplo 4.6.1 - Solução]]
(a) 7 letras distintas são selecionados (ou seja, apenas um S é selecionado), e
(b) os dois S serem selecionados'''Exemplo 4.6.2'''
No primeiro teste padrão''Encontre a permutação de 1, 2, 3, existem 7! Maneiras de colocar as 7 letras distintas 4, 5, 6 imediatamente após 263.541 em uma fileiraordem lexicográfica.(pág 345)''
No segundo padrão, as sete letras selecionadas têm dois S’s, por isso há 7! / [[Exemplo 4.6.2! Maneiras de colocar essas letras em uma fileira. - Solução]]
Adicionando os totais obtidos a partir dos dois casos, temos o número total de maneiras de colocar sete dos oito cartas em uma fileira:
<math>7!+6.\frac{7!}{2!}</math>
===Exemplos adicionais relativas a Seção '''Exemplo 4.6===.3 '''EXEMPLO (E1, página 345)'''Coloque as seguintes permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, na ordem lexicográfica :
<math>461325''Encontre a permutação de 1, 3261452, 5162433, 3241654, 4612355, 324615, 462135</math>6 imediatamente antes de 261.345 em ordem lexicográfica. (pág 345)''
[[Exemplo 4.6.3 - Solução: EXEMPLO (E1, página 345)]]
'''EXEMPLO (E2, página 345)'''
Encontre a permutação de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente após 263.541 em ordem lexicográfica.
[[Solução: EXEMPLO (E2, página 345)]]'''Exemplo 4.6.4 '''
'''EXEMPLO (E3, página 345)'''Encontre a permutação Se as permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente antes de 261.345 forem colocadas em ordem lexicográfica, com 123.456 na posição 1, 123.465 na posição 2, etc., encontrar a permutação na posição 362. (pág 345)''
[[Exemplo 4.6.4 - Solução: EXEMPLO (E3, página 345)]]
'''EXEMPLO (E4, página 345)'''
Se as permutações de 1,2,3,4,5,6 forem colocadas em ordem lexicográfica, com 123.456 na posição 1, 123.465 na posição 2, etc., encontrar a permutação na posição 362.
[[Solução: EXEMPLO (E4, página 345)]]'''Exemplo 4.6.5 '''
'''EXEMPLO (E5, página 345)'''Se as permutações de 1,2,3,4,5 forem colocadas em ordem lexicográfica, em que posição estará a permutação 41253?(pág 345)''
[[Exemplo 4.6.5 - Solução: EXEMPLO (E5, página 345)]]