====Exemplo 4.1.2====
''Um certo tipo de botao de uma fechadura de porta exige que voce insira um codigo antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.''
''(a) Se voce escolher um código de entrada que consiste de uma sequencia de 4 digitos, com números repetidos permitidos, quantos códigos de entrada são possíveis?''
''(b) Se voce escolher um código de entrada que consiste de uma sequencia de 4 digitos, sem repetir os números, quantos códigos de entrada são possíveis?''
[[Exemplo 4.1.2 - Solução]]
====Exemplo 4.1.3====
''Conte os numeros de instruções de impressão nesse algoritmo:
<nowiki>
de i=1 até n
de k=1 ate n
print hello
fim </nowiki>''
[[Exemplo 4.1.3 - Solução]]
====Exemplo 4.1.4====
''Conte os numeros de instruções de impressão nesse algoritmo:
<nowiki>
de i=1 até n
de k=i+1 ate n
print hello
fim </nowiki>''
[[Exemplo 4.1.4 - Solução]]
====Exemplo 4.1.5====
''Encontre o numero de palavras com 10 letras sem repeti-las:''
''(a) que não tenha vogais.''
''(b) que começam com uma vogal.''
''(c) que tenha C e V nas extremidades (em qualquer ordem).
''(d) que tenha vogais nas duas primeiras posições.
[[Exemplo 4.1.5 - Solução]]
====Exemplo 4.1.6====
''10 homens e 10 mulheres estão em uma fila:
''(a) encontre Encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila.
''(b) encontre Encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila se duas pessoas do mesmo sexo não podem ficar lado a lado;
''(c) encontre Encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila se Beryl, Carol, e Darryl querem ficar juntas nesta sequencia (Carol, Beryl, and Darryl; ou Darryl, Beryl, e Carol).
[[Exemplo 4.1.6 - Solução]]
====Exemplo 4.1.7====
''Encontre o número de palavras 10 letras :
''(a) não Não contenha vogais.
''(b) começar Começar com uma vogal.
''(c) ter Ter vogais nas duas primeiras posições.
''(d) começar Começar com C e terminam com V.
''(e) começar Começar com C ou terminar com V.
''Para resolver o problema é ter em mente uma fila de dez espaços em branco :
[[Exemplo 4.1.7 - Solução]]
===== Exemplo 4.2.1 =====
'''Provar que em qualquer grupo de três números inteiros positivos, existem pelo menos dois, cuja a soma é par. (pág Pág. 314)'''
[[Contagem: Exemplo 4.2.1 - Solução]]
===== Contagem: Exemplo 4.2.2 ====='''Se forem escolhidos inteiros positivos aleatoriamente, qual é o número mínimo que podemos garantir que dois dos números escolhidos sejam congruentes módulo 6. (pág 314)'''
[[Contagem: Exemplo 2 - Solução]]''Se forem escolhidos inteiros positivos aleatoriamente, qual é o número mínimo que podemos garantir que dois dos números escolhidos sejam congruentes módulo 6. (pág 314)''
===== Contagem: [[Exemplo 3 =====4.2.2 - Solução]]
Prove que em qualquer conjunto de 700 palavras em inglês, deve haver pelo menos duas que começam com o mesmo par de letras (na mesma ordem), por exemplo, ST OP e STAndard===== Exemplo 4.(pág 314)2.3 =====
[[Contagem: Exemplo 3 - Solução]]''Prove que em qualquer conjunto de 700 palavras em inglês, deve haver pelo menos duas que começam com o mesmo par de letras (na mesma ordem), por exemplo, ST OP e STAndard.(pág 314)''
[[Exemplo 4.2.3 - Solução]]
'''EXEMPLO (E4, página 315)'''Cada tipo de peça de uma máquina feita em uma fábrica é carimbada com um código do formulário de letter-digit-digit, onde os dígitos podem ser repetidos===== Exemplo 4. Prove que, se 8000 peças são feitas, então, pelo menos, quatro delas devem ter o mesmo código carimbadas2.4 =====
'''Solução:'''O numero Cada tipo de peça de uma máquina feita em uma fábrica é carimbada com um código do formulário de codigos possiveis 26 x 10 x 10 = 2600letter-digit-digit, onde os dígitos podem ser repetidos. Desde Prove que,se 8000 > 3 x 2600peças são feitas, então,pelo menos 4 tenham , quatro delas devem ter o mesmo codigocódigo carimbadas.(pág.315)''
[[Exemplo 4.2.4 - Solução]]
===== Exemplo 4.2.5 ====='''EXEMPLO (E5, página 315)'''Cada aluno é classificado como um membro de uma das seguintes classes: Freshman, Sophomore, Junior, Senior. Encontrar o número mínimo de estudantes que devem ser escolhidos de modo a garantir que, pelo menos, oito pertencem à mesma classe.(pág. 315)''
'''Solução:'''De um grupo de 28 estudantes podem ser 7 pertencentes a cada classe[[Exemplo 4.Mas se há 29 estudantes, pelo menos 8 devem ser membros da mesma classe.Portanto, o número mínimo de estudantes que deve ser escolhido é de 292.5 - Solução]]
Em outras palavras, nós estamos olhando para o número mínimo N tal que <math>|\frac{N}{===Exemplos adicionais relativos a Seção 4} | .3=== 8</math>. O numero minimo é 29.
===Exemplos adicionais relativas a Seção '''Exemplo 4.3==='''EXEMPLO (E1, pág 321).1'''Uma classe tem 30 alunos matriculados. De quantas maneiras pode-se:
''Uma classe tem 30 alunos matriculados. De quantas maneiras pode-se: (apág 321) Colocar 4 alunos em uma fila para uma foto?
''(ba) Colocar todos os 30 4 alunos em uma fila para uma foto?
''(cb) Colocar todos os 30 alunos em duas filas de 15 cada uma fila para uma foto?
'''Solução:'''(ac) Precisamos preencher a seguinte linha de quatro espaços Colocar todos os 30 alunos em branco: 30 x 29 x 28 x 27. Este é o número duas filas de permutações de 4 a partir de um conjunto de 30, que é P( 30 ,4 );15 cada para uma foto?''
(b)A resposta pode ser visualizado como o número de maneiras para preencher uma fila com 30 lacunas com os 30 estudantes, que é 30! , ou P( 30, 30 );[[Exemplo 4.3.1 - Solução]]
(c) Podemos ver que o número de maneiras para preencher em duas filas,é cada uma com 15 espaços em branco, com os alunos 30:'''Exemplo 4.3.2 '''
Podemos então, começar por preencher a linha ''Um certo tipo de botão de uma fechadura de inferior, o porta exige que você insira um código antes que pode ser feito de 30 x 29 x 28 x … x 17 x 16 maneirasa fechadura abra. Em seguidaO bloqueio tem 5 botoes, preencher linha superior, que pode ser feito numerados de 15! = 15 x 14 x 13… x 2 x 1 maneirasa 5. Portanto a resposta O bloqueio é programado para reconhecer seis códigos de 4 dígitos diferentes, podendo repetir os algarismos de cada código. Quantos conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis existem?(30 x 29 x 28 x … x 17 x 16) x (15 x 14 x 13 x … x 2 x 1pág 324) = 30!''
'''EXEMPLO (E2, página 324)'''Um certo tipo de botão de uma fechadura de porta exige que você insira um código antes que a fechadura abra[[Exemplo 4.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.O bloqueio é programado para reconhecer seis códigos de 4 dígitos diferentes, podendo repetir os algarismos de cada código3. Quantos conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis existem?2 - Solução]]
'''Solução:'''
Há 5⁴=625 possíveis códigos com quatro dígitos. Portanto, há C(625,6) conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis.
EXEMPLO (E3, página 324)
…..
'''EXAMPLE Exemplo 4.3.3 (E4, page pág 324)'''Quantas maneiras existem de escolher uma comissão de cinco pessoas consistindo de três mulheres e dois homens de um grupo de dez mulheres e sete homens?
'''Solução:''' O número de maneiras de escolher três mulheres é C( 10,3 ) e o numero de maneiras de escolher 10 homens é C(7,2).Usando a regra do produto para escolher três mulheres e dois homens é C( 10,3 ) x C(7,2) = 2,520..
[[Exemplo 4.3.3 - Solução]]
'''EXEMPLO (E5, page 324)Exemplo 4.3.4'''Sendo o conjunto S = {1,2,3,...,19}. Encontre o número ''Quantas maneiras existem de escolher uma comissão de cinco pessoas consistindo de subconjuntos três mulheres e dois homens de S com numeros iguais um grupo de inteiros pares dez mulheres e impares.sete homens?(pág 324)''
'''Solução:'''Note que, existem 10 inteiros ímpares e 9 inteiros pares em S[[Exemplo 4. Os subconjuntos a serem contados deve consistir de k inteiros ímpares e k inteiros pares, onde k=1,2,3,...,9. Portanto, pela regra do produto, o número de cada tipo é C(10, k) x C(9,k). Portanto, pela regra da soma, a resposta é C(10, k) x C(9,k) + C(10, k) x C(9,k)4 - Solução]]
'''Exemplo 4.3.5 '''
''Sendo o conjunto S = {1,2,3,...,19}. Encontre o número de subconjuntos de S com numeros iguais de inteiros pares e impares.(pág 324)''
[[Exemplo 4.3.5 - Solução]]
'''EXEMPLO (E6, page 324)Exemplo 4.3.6 '''Encontre maneiras de dividir um baralho de 52 cartas, em:
a)Em 4 pilhas iguais''Encontre maneiras de dividir um baralho de 52 cartas, classificado em A,B,C,D;:(pág 324)''
b''a)Em 4 pilhas iguais, sem classificaçãoclassificado em A,B,C,D;
'''Solução:'''ab) Cada pilha deve conter 52/Em 4 = 13 cartas. Na sequenciapilhas iguais, empilharemos A,em seguida B, depois C, e finalmente D. Então teremos C(52,13) maneiras de obter a pilha de A, C(39,13) maneiras de obter a pilha de B, C(26,13) maneiras de obter a pilha de C, e C(13,13)=1 maneiras de obter a pilha de D.Portanto pela regra do produto,teremos :C(52,13) x C(39,13) x C(26,13) x C(13,13) = <math>\frac{52!}{13!.29!} .\frac{39!}{13!.26!} .\frac{26!}{13!.13!} .\frac{13!}{13!.0!} = \frac{52!}{(13!)^4} </math>sem classificação;''
b) Se nas [[Exemplo 4 pilhas não houver classificação,então podemos permutar as quatro pilhas em 4! Maneiras. Daí a resposta é a mesma do iten anterior dividido por 4!:<math>\frac{C(52,13).C(39,13).C(26,13).C(13,13)}{4!} = \frac{52!}{(13!)^43.4!}</math>6 - Solução]]
'''Exemplo 4.3.7 '''
'''EXEMPLO Suponha que S = {1,2, . . ., 25} . Encontre o numero de subconjuntos de tamanho 5,tal que T:(E7, page pág 324)'''
Supunha que S = {1,''a) consista de 2, . . ., 25} numeros impares e 3 numeros pares. Encontre o numero de subconjuntos de tamanho 5,tal que T:
a''b) consista consiste de 2 numeros impares e 3 numeros paresexatamente três números primos.
b''c) consiste de exatamente três números primostenha a soma dos seus elementos, menor que 20.
c''d) tenha a soma dos seus elementostem, menor que 20pelo menos, um número par na mesma.''
d) tem, pelo menos, um número par na mesma[[Exemplo 4.3.7 - Solução]]
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.4===
'''Exemplo 4.4.1 '''
''Escreva a expansão de (x+2y)³. (pág 328)''
[[Exemplo 4.4.1 - Solução]]
'''Solução:Exemplo 4.4.2 '''a) Há 13 numeros impares; podemos escolher dois em C(13,2) maneiras.Há 12 numeros pares; podemos escolher 3 em C(12,3) maneiras. Usando a regra do produto para encontrar o número de subconjuntos T, temos subconjuntos.
''Encontre o coeficiente <math>a^{17}b) Os numeros primos em S são 2,3,5,7,11,13,17,19, and ^{23, então temos C(9,3) maneiras }</math> na expansão de selecionar 3 desses numeros.Mas também precisa selecionar 2 dos 16 números compostos para fazer T ter tamanho cinco;então C<math>(16,23a-7b) maneiras para isso^{40}</math>.Portanto pela regra do produto temos C(9,3pág 328) x C(16,2)=10.080 subconjuntos possiveis T.''
c) Há poucos subconjuntos com esta propriedade[[Exemplo 4. Então é melhor neste caso, contar diretamente o conjunto de cinco números cuja soma é inferior a 20:1,2,3,4,5, 1,.2,3,4,6, 1,2,3,4,7,1,2,3,4,8, 1,2,3,4,9, 1,3,4,5,6.Assim, existem seis desses subconjuntos possiveis.- Solução]]
d) É mais fácil para contar o número total de subconjuntos de tamanho 5, e depois subtrair o número de subconjuntos sem números pares neles:<math>C(25, 5)-C(13,5) = 51,843</math>'''Exemplo 4.4.3 '''
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.4==='''EXEMPLO (E1, página 328)'''Escreva a expansão de <math>(x+2y^2-\frac{1}{x} )³^8</math>.(pág 328)''
'''[[Exemplo 4.4.3 - Solução:'''pelo teorema binomial:<math>(x+2y)^3 = \binom{3}{0} x^3(2y)^0+\binom{3}{1} x^2(2y)^1+\binom{3}{2} x^1(2y)^2+\binom{3}{3} x^0(2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3</math>]]
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.5==='''EXEMPLO (E2, page 328)Exemplo 4.5.1 '''Encontre o coeficiente <math>a^{17}b^{23}</math> na expansão de <math>(3a-7b)^{40}</math>.
'''SoluçãoUma padaria vende quatro tipos de biscoitos:'''Expandindo <math>(3a-7b)^{40}</math> usando o teorema binomialchocolate, geleia, açúcar, localizamos o termo manteiga de amendoim. Você pode comprar um saco com o produto <math>30 biscoitos. Assumindo que a^{17}b^{23}</math>padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de biscoito, e então encontramos o coeficientequantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher:(pág 338)''
<math>(3a-7b''a)^{40} = (3a+(-7b))^{40}</math>Ao menos 3 biscoitos de chocolate e pelo menos 6 biscoitos de manteiga de amendoim
= <math>\cdots + \binom{40}{17} (3a)^{17}(-7b''b)^{23} + \cdots</math>= <math>\cdots + \binom{40}{17} Exatamente 3^{17}(-7)^23a^{17}b^{23} + \cdots</math>biscoitos de chocolate e exatamente 6 biscoitos de manteiga de amendoim
Assim, o coeficiente ''c) No máximo 5 biscoitos de <math>a^{17}b^{23}</math> é <math>\binom{40}{17} 3^{17}(-7)^{23}</math>, que também pode ser escrito como <math>\binom{40}{23} 3^{17}(-7)^{23}</math>.açúcar
'''EXEMPLO (E3, page 328d)Pelo menos um dos quatro tipos de biscoitos.'''Escreva a expansão de <math>(x^2-\frac{1}{x} )^8</math>
'''Solução:'''Usa-se o teorema binomial[[Exemplo 4. Em seguida, várias regras exponenciais para simplificar os termos5.1 - Solução]]
<math>(x^2-\frac{1}{x} )^8 = \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} (x^2)^i(\frac{-1}{x} )^{8-i}</math>
<math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} \frac{x^{2i}(-1)^{8-i}}{x^{8-i}}</math>
<math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} x^{3i-8}(-1)^{8-i}</math>
<math>= x^{-8}-8x^{-5}+28x^{-2}-56x^{1}+70x^{4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math>
<math>= \frac{1}{x^8} -\frac{8}{x^5} +\frac{28}{x^2} -56x^{1}+70x^{4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math>
===Exemplos adicionais relativas a Seção '''Exemplo 4.5===.2 ''' '''EXEMPLO Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED? (E1, page 338pág 339)'''Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos: chocolate, geleia, açúcar, manteiga de amendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de biscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher:
a) Ao menos 3 biscoitos de chocolate e pelo menos 6 biscoitos de manteiga de amendoim[[Exemplo 4.5.2 - Solução]]
b) Exatamente 3 biscoitos de chocolate e exatamente 6 biscoitos de manteiga de amendoim
c) No máximo '''Exemplo 4.5 biscoitos de açúcar.3'''
d) Pelo menos um dos quatro tipos ''Um frasco contém 30 moedas de 1 centavo, 20 moedas de 5 centavos, 20 moedas de 10 centavos, e 15 moedas de 25 centavos. (As moedas de biscoitoscada denominação são consideradas idênticas.) (pág 339)''
Solução:''(a) Encontre o número de maneiras de colocar todas as 85 moedas em uma fileira.
'''EXEMPLO (E2, page 339b)Encontre o número de possíveis ‘punhados’ de 12 moedas.'''Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED?
'''Solução: '''Na palavra há dois ‘D’, três ‘E’, um ‘C’, um ‘I’ e um ‘V’[[Exemplo 4. Portanto, o número de permutações de DECEIVED é: <math>\frac{8!}{2!5.3!.1!.1!.1!} = \frac{8!}{2!.3!}</math>- Solução]]
'''EXEMPLO (E3, page 339)'''
Um frasco contém 30 moedas de 1 centavo, 20 moedas de 5 centavos, 20 moedas de 10 centavos, e 15 moedas de 25 centavos. (As moedas de cada denominação são consideradas idênticas.)
(a) Encontre o número de maneiras de colocar todas as 85 moedas em uma fileira'''Exemplo 4.5.4'''
''De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras de “CHEMISTS” em uma fila? (bpág 339) Encontre o número de possíveis ‘punhados’ de 12 moedas.''
'''Solução:'''(a) A resposta não é 85! uma vez que as moedas não são todos distintos[[Exemplo 4. Pense no problema como um de fazer uma palavra com 30 p's, 20 n's, 20 d's, e 15 q's5. Tendo em conta as cartas idênticas, temos<math>\frac{85!}{30!.20!.20!.15!}</math>4 - Solução]]
(b) Quando se contar o número de ‘punhados’ de 12 moedas, estamos apenas preocupados com o número de cada denominação escolhida===Exemplos adicionais relativas a Seção 4. Por exemplo, poderíamos escolher 9 moedas de 1 centavos, 2 de 5 centavos, e uma de 25 centavos, ou podemos escolher três de cada denominação. Assim, o número de um ‘punhados’ de 12 moedas é igual ao número inteiro não negativo de soluções para a equação:<math>p+n+d+q 6=== 12</math>onde P é o número de moedas de '''Exemplo 4.6.1 centavo, n é o número de moedas de 5 centavos, d é o número de moedas de 10 centavos, e q é o número de 25 centavos. O número de soluções para esta equação é:<math>C(15,3) = 455</math>'''
'''EXEMPLO Coloque as seguintes permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, na ordem lexicográfica : (E4, page 339pág 345)'''De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras de “CHEMISTS” em uma fila?
'''Solução:'''<math>461325, 326145, 516243, 324165, 461235, 324615, 462135</math>
Existem dois padrões a serem considerados:[[Exemplo 4.6.1 - Solução]]
(a) 7 letras distintas são selecionados (ou seja, apenas um S é selecionado), e
(b) os dois S serem selecionados'''Exemplo 4.6.2'''
No primeiro teste padrão''Encontre a permutação de 1, 2, 3, existem 7! Maneiras de colocar as 7 letras distintas 4, 5, 6 imediatamente após 263.541 em uma fileiraordem lexicográfica.(pág 345)''
No segundo padrão, as sete letras selecionadas têm dois S’s, por isso há 7! / [[Exemplo 4.6.2! Maneiras de colocar essas letras em uma fileira. - Solução]]
Adicionando os totais obtidos a partir dos dois casos, temos o número total de maneiras de colocar sete dos oito cartas em uma fileira:
<math>7!+6.\frac{7!}{2!}</math>
===Exemplos adicionais relativas a Seção '''Exemplo 4.6===.3 '''EXEMPLO (E1, página 345)'''Coloque as seguintes permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, na ordem lexicográfica :
<math>461325''Encontre a permutação de 1, 3261452, 5162433, 3241654, 4612355, 324615, 462135</math>6 imediatamente antes de 261.345 em ordem lexicográfica. (pág 345)''
[[Exemplo 4.6.3 - Solução: EXEMPLO (E1, página 345)]]
'''EXEMPLO (E2, página 345)'''
Encontre a permutação de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente após 263.541 em ordem lexicográfica.
[[Solução: EXEMPLO (E2, página 345)]]'''Exemplo 4.6.4 '''
'''EXEMPLO (E3, página 345)'''Encontre a permutação Se as permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente antes de 261.345 forem colocadas em ordem lexicográfica, com 123.456 na posição 1, 123.465 na posição 2, etc., encontrar a permutação na posição 362. (pág 345)''
[[Exemplo 4.6.4 - Solução: EXEMPLO (E3, página 345)]]
'''EXEMPLO (E4, página 345)'''
Se as permutações de 1,2,3,4,5,6 forem colocadas em ordem lexicográfica, com 123.456 na posição 1, 123.465 na posição 2, etc., encontrar a permutação na posição 362.
[[Solução: EXEMPLO (E4, página 345)]]'''Exemplo 4.6.5 '''
'''EXEMPLO (E5, página 345)'''Se as permutações de 1,2,3,4,5 forem colocadas em ordem lexicográfica, em que posição estará a permutação 41253?(pág 345)''
[[Exemplo 4.6.5 - Solução: EXEMPLO (E5, página 345)]]