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''(c) que tenha C e V nas extremidades (em qualquer ordem).

''(d) que tenha vogais nas duas primeiras posições.''

''10 homens e 10 mulheres estão em uma fila:

''(a) encontre Encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila.

''(b) encontre Encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila se duas pessoas do mesmo sexo não podem ficar lado a lado;

''(c) encontre Encontre quantas possibilidades pode ser formada a fila se Beryl, Carol, e Darryl querem ficar juntas nesta sequencia (Carol, Beryl, and Darryl; ou Darryl, Beryl, e Carol).

''Encontre o número de palavras 10 letras :

''(a) não Não contenha vogais.

''(b) começar Começar com uma vogal.

''(c) ter Ter vogais nas duas primeiras posições.

''(d) começar Começar com C e terminam com V.

''(e) começar Começar com C ou terminar com V.

''Para resolver o problema é ter em mente uma fila de dez espaços em branco :

'''Provar que em qualquer grupo de três números inteiros positivos, existem pelo menos dois, cuja a soma é par. (Pág. 314)'''

'''Se forem escolhidos inteiros positivos aleatoriamente, qual é o número mínimo que podemos garantir que dois dos números escolhidos sejam congruentes módulo 6. (pág 314)'''

[[Contagem: Exemplo 4.2.2 - Solução]]

''Prove que em qualquer conjunto de 700 palavras em inglês, deve haver pelo menos duas que começam com o mesmo par de letras (na mesma ordem), por exemplo, ST OP e STAndard.(pág 314)''

[[Contagem: Exemplo 4.2.3 - Solução]]

'''EXEMPLO (E4, página 315)'''Cada tipo de peça de uma máquina feita em uma fábrica é carimbada com um código do formulário de letter-digit-digit, onde os dígitos podem ser repetidos. Prove que, se 8000 peças são feitas, então, pelo menos, quatro delas devem ter o mesmo código carimbadas.(pág. 315)''

'''Solução:'''O numero de codigos possiveis 26 x 10 x 10 = 2600[[Exemplo 4.2. Desde que,8000 > 3 x 2600,pelo menos 4 tenham o mesmo codigo.- Solução]]

'''EXEMPLO (E5, página 315)'''Cada aluno é classificado como um membro de uma das seguintes classes: Freshman, Sophomore, Junior, Senior[[Exemplo 4. Encontrar o número mínimo de estudantes que devem ser escolhidos de modo a garantir que, pelo menos, oito pertencem à mesma classe2.5 - Solução]]

'''Solução:'''De um grupo de 28 estudantes podem ser 7 pertencentes ===Exemplos adicionais relativos a cada classe.Mas se há 29 estudantes, pelo menos 8 devem ser membros da mesma classe.Portanto, o número mínimo de estudantes que deve ser escolhido é de 29Seção 4.3===

Em outras palavras, nós estamos olhando para o número mínimo N tal que <math>|\frac{N}{'''Exemplo 4} | = 8</math>. O numero minimo é 293.1'''

===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.3==='''EXEMPLO (E1, pág 321)'''Uma classe tem 30 alunos matriculados. De quantas maneiras pode-se:(pág 321)

''(a) Colocar 4 alunos em uma fila para uma foto?

''(b) Colocar todos os 30 alunos em uma fila para uma foto?

''(c) Colocar todos os 30 alunos em duas filas de 15 cada para uma foto?''

'''[[Exemplo 4.3.1 - Solução:'''(a) Precisamos preencher a seguinte linha de quatro espaços em branco: 30 x 29 x 28 x 27. Este é o número de permutações de 4 a partir de um conjunto de 30, que é P( 30 ,4 );]]

(c) Podemos ver ''Um certo tipo de botão de uma fechadura de porta exige que você insira um código antes que o número a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de maneiras 1 a 5.O bloqueio é programado para preencher em duas filasreconhecer seis códigos de 4 dígitos diferentes,é podendo repetir os algarismos de cada uma com 15 espaços em branco, com os alunos 30:código. Quantos conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis existem?(pág 324)''

Podemos então, começar por preencher a linha de inferior, o que pode ser feito de 30 x 29 x 28 x … x 17 x 16 maneiras[[Exemplo 4. Em seguida, preencher linha superior, que pode ser feito de 15! = 15 x 14 x 13… x 2 x 1 maneiras3. Portanto a resposta é (30 x 29 x 28 x … x 17 x 16) x (15 x 14 x 13 x … x 2 x 1) = 30!- Solução]]

'''Solução:'''Há 5⁴=625 possíveis códigos com quatro dígitosExemplo 4. Portanto, há C(625,6) conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis3.EXEMPLO 3 (E3, página pág 324)…..'''

'''Solução:''' O número de maneiras de escolher três mulheres é C( 10,[[Exemplo 4.3 ) e o numero de maneiras de escolher 10 homens é C(7,2).Usando a regra do produto para escolher três mulheres e dois homens é C( 10,3 ) x C(7,2) = 2,520.- Solução]]

'''EXEMPLO (E5, page 324)'''Sendo o conjunto S = {1,2,[[Exemplo 4.3,...,19}. Encontre o número de subconjuntos de S com numeros iguais de inteiros pares e impares.4 - Solução]]

'''Solução:Exemplo 4.3.5 '''Note que, existem 10 inteiros ímpares e 9 inteiros pares em S. Os subconjuntos a serem contados deve consistir de k inteiros ímpares e k inteiros pares, onde k=1,2,3,...,9. Portanto, pela regra do produto, o número de cada tipo é C(10, k) x C(9,k). Portanto, pela regra da soma, a resposta é C(10, k) x C(9,k) + C(10, k) x C(9,k)

'''EXEMPLO (E6, page 324)'''Encontre maneiras de dividir um baralho de 52 cartas, em:(pág 324)''

''a)Em 4 pilhas iguais, classificado em A,B,C,D;

''b)Em 4 pilhas iguais, sem classificação;''

'''Solução:'''a) Cada pilha deve conter 52/[[Exemplo 4 = 13 cartas. Na sequencia, empilharemos A,em seguida B, depois C, e finalmente D3. Então teremos C(52,13) maneiras de obter a pilha de A, C(39,13) maneiras de obter a pilha de B, C(26,13) maneiras de obter a pilha de C, e C(13,13)=1 maneiras de obter a pilha de D.Portanto pela regra do produto,teremos :C(52,13) x C(39,13) x C(26,13) x C(13,13) = <math>\frac{52!}{13!.29!} .\frac{39!}{13!.26!} .\frac{26!}{13!.13!} .\frac{13!}{13!.0!} = \frac{52!}{(13!)^4} </math>6 - Solução]]

b) Se nas '''Exemplo 4 pilhas não houver classificação,então podemos permutar as quatro pilhas em 4! Maneiras. Daí a resposta é a mesma do iten anterior dividido por 4!:<math>\frac{C(52,13).C(39,13).C(26,13).C(13,13)}{4!} = \frac{52!}{(13!)^43.4!}</math>7 '''

'''EXEMPLO (E7, page 324a)'''consista de 2 numeros impares e 3 numeros pares.

Supunha que S = {1,2, . . ., 25} ''b) consiste de exatamente três números primos. Encontre o numero de subconjuntos de tamanho 5,tal que T:

''c) tenha a) consista de 2 numeros impares e 3 numeros paressoma dos seus elementos, menor que 20.

b''d) consiste de exatamente três números primostem, pelo menos, um número par na mesma.''

c) tenha a soma dos seus elementos, menor que 20[[Exemplo 4.3.7 - Solução]]

d) tem, pelo menos, um número par na mesma===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.4==='''Exemplo 4.4.1 '''

'''Solução:'''a) Há 13 numeros impares; podemos escolher dois em C(13,2) maneiras[[Exemplo 4.Há 12 numeros pares; podemos escolher 3 em C(12,3) maneiras. Usando a regra do produto para encontrar o número de subconjuntos T, temos subconjuntos4.1 - Solução]]

b) Os numeros primos em S são 2,3,5,7,11,13,17,19, and 23, então temos C(9,3) maneiras de selecionar 3 desses numeros'''Exemplo 4.Mas também precisa selecionar 2 dos 16 números compostos para fazer T ter tamanho cinco;então C(16,2) maneiras para isso4.Portanto pela regra do produto temos C(9,3) x C(16,2)=10.080 subconjuntos possiveis T.'''

c) Há poucos subconjuntos com esta propriedade. Então é melhor neste caso, contar diretamente ''Encontre o conjunto coeficiente <math>a^{17}b^{23}</math> na expansão de cinco números cuja soma é inferior a 20:1,2,3,4,5, 1,2,3,4,6, 1,2,3,4,7,1,2,3,4,8, 1,2,3,4,9, 1,3,4,5,6.Assim, existem seis desses subconjuntos possiveis<math>(3a-7b)^{40}</math>.(pág 328)''

d) É mais fácil para contar o número total de subconjuntos de tamanho 5, e depois subtrair o número de subconjuntos sem números pares neles:<math>C(25, 5)[[Exemplo 4.4.2 -C(13,5) = 51,843</math>Solução]]

===Exemplos adicionais relativas a Seção '''Exemplo 4.4===.3 '''EXEMPLO (E1, página 328) '''Escreva a expansão de <math>(x+2y^2-\frac{1}{x} )^8</math>. (pág 328)³'' [[Exemplo 4.4.3 - Solução]]

===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.5==='''Solução:Exemplo 4.5.1 '''pelo teorema binomial:<math>(x+2y)^3 = \binom{3}{0} x^3(2y)^0+\binom{3}{1} x^2(2y)^1+\binom{3}{2} x^1(2y)^2+\binom{3}{3} x^0(2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3</math>

'''EXEMPLO (E2Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos: chocolate, geleia, açúcar, page 328)'''Encontre o coeficiente <math>manteiga de amendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a^{17}b^{23}</math> na expansão padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de <math>biscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher: (3a-7bpág 338)^{40}</math>.''

'''Solução:'''Expandindo <math>(3a-7ba)^{40}</math> usando o teorema binomial, localizamos o termo com o produto <math>a^{17}b^{23}</math>, Ao menos 3 biscoitos de chocolate e então encontramos o coeficiente:pelo menos 6 biscoitos de manteiga de amendoim

<math>(3a-7b''b)^{40} = (3a+(-7b))^{40}</math>Exatamente 3 biscoitos de chocolate e exatamente 6 biscoitos de manteiga de amendoim

= <math>\cdots + \binom{40}{17} (3a''c)^{17}(-7b)^{23} + \cdots</math>= <math>\cdots + \binom{40}{17} 3^{17}(-7)^23a^{17}b^{23} + \cdots</math>No máximo 5 biscoitos de açúcar

Assim, o coeficiente ''d) Pelo menos um dos quatro tipos de <math>a^{17}b^{23}</math> é <math>\binom{40}{17} 3^{17}(-7)^{23}</math>, que também pode ser escrito como <math>\binom{40}{23} 3^{17}(-7)^{23}</math>biscoitos.''

'''EXEMPLO (E3, page 328)'''Escreva a expansão de <math>(x^2[[Exemplo 4.5.1 -\frac{1}{x} )^8</math>Solução]]

<math>(x^2-\frac{1}{x} )^8 = \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} (x^2)^i(\frac{-1}{x} )^{8-i}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} \frac{x^{2i}(-1)^{8-i}}{x^{8-i}}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} x^{3i-8}(-1)^{8-i}</math><math>= x^{-8}-8x^{-5}+28x^{-2}-56x^{1}+70x^{'''Exemplo 4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math><math>= \frac{1}{x^8} -\frac{8}{x^.5} +\frac{28}{x^.2} -56x^{1}+70x^{4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math>'''

===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.5==='''EXEMPLO Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED? (E1, page 338pág 339)'''Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos: chocolate, geleia, açúcar, manteiga de amendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de biscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher:

c) No máximo '''Exemplo 4.5 biscoitos de açúcar.3'''

d) Pelo menos um dos quatro tipos ''Um frasco contém 30 moedas de 1 centavo, 20 moedas de 5 centavos, 20 moedas de 10 centavos, e 15 moedas de 25 centavos. (As moedas de biscoitoscada denominação são consideradas idênticas.) (pág 339)''

'''EXEMPLO (E2, page 339b)Encontre o número de possíveis ‘punhados’ de 12 moedas.'''Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED?

'''Solução: '''Na palavra há dois ‘D’, três ‘E’, um ‘C’, um ‘I’ e um ‘V’[[Exemplo 4. Portanto, o número de permutações de DECEIVED é: <math>\frac{8!}{2!5.3!.1!.1!.1!} = \frac{8!}{2!.3!}</math>- Solução]]

(a) Encontre o número de maneiras de colocar todas as 85 moedas em uma fileira'''Exemplo 4.5.4'''

''De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras de “CHEMISTS” em uma fila? (bpág 339) Encontre o número de possíveis ‘punhados’ de 12 moedas.''

'''Solução:'''(a) A resposta não é 85! uma vez que as moedas não são todos distintos[[Exemplo 4. Pense no problema como um de fazer uma palavra com 30 p's, 20 n's, 20 d's, e 15 q's5. Tendo em conta as cartas idênticas, temos<math>\frac{85!}{30!.20!.20!.15!}</math>4 - Solução]]

(b) Quando se contar o número de ‘punhados’ de 12 moedas, estamos apenas preocupados com o número de cada denominação escolhida===Exemplos adicionais relativas a Seção 4. Por exemplo, poderíamos escolher 9 moedas de 1 centavos, 2 de 5 centavos, e uma de 25 centavos, ou podemos escolher três de cada denominação. Assim, o número de um ‘punhados’ de 12 moedas é igual ao número inteiro não negativo de soluções para a equação:<math>p+n+d+q 6=== 12</math>onde P é o número de moedas de '''Exemplo 4.6.1 centavo, n é o número de moedas de 5 centavos, d é o número de moedas de 10 centavos, e q é o número de 25 centavos. O número de soluções para esta equação é:<math>C(15,3) = 455</math>'''

'''EXEMPLO Coloque as seguintes permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, na ordem lexicográfica : (E4, page 339pág 345)'''De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras de “CHEMISTS” em uma fila?

(b) os dois S serem selecionados'''Exemplo 4.6.2'''

No primeiro teste padrão''Encontre a permutação de 1, 2, 3, existem 7! Maneiras de colocar as 7 letras distintas 4, 5, 6 imediatamente após 263.541 em uma fileiraordem lexicográfica.(pág 345)''

No segundo padrão, as sete letras selecionadas têm dois S’s, por isso há 7! / [[Exemplo 4.6.2! Maneiras de colocar essas letras em uma fileira. - Solução]]

===Exemplos adicionais relativas a Seção '''Exemplo 4.6===.3 '''EXEMPLO (E1, página 345)'''Coloque as seguintes permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, na ordem lexicográfica :

<math>461325''Encontre a permutação de 1, 3261452, 5162433, 3241654, 4612355, 324615, 462135</math>6 imediatamente antes de 261.345 em ordem lexicográfica. (pág 345)''

[[Exemplo 4.6.3 - Solução: EXEMPLO (E1, página 345)]]

'''EXEMPLO (E3, página 345)'''Encontre a permutação Se as permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente antes de 261.345 forem colocadas em ordem lexicográfica, com 123.456 na posição 1, 123.465 na posição 2, etc., encontrar a permutação na posição 362. (pág 345)''

[[Exemplo 4.6.4 - Solução: EXEMPLO (E3, página 345)]]

'''EXEMPLO (E5, página 345)'''Se as permutações de 1,2,3,4,5 forem colocadas em ordem lexicográfica, em que posição estará a permutação 41253?(pág 345)''

[[Exemplo 4.6.5 - Solução: EXEMPLO (E5, página 345)]]