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===Exemplos adicionais relativas relativos a Seção 4.3==='''EXEMPLO (E1, pág 321)'''Uma classe tem 30 alunos matriculados. De quantas maneiras pode-se:

(a) Colocar '''Exemplo 4 alunos em uma fila para uma foto?.3.1'''

''Uma classe tem 30 alunos matriculados. De quantas maneiras pode-se: (bpág 321) Colocar todos os 30 alunos em uma fila para uma foto?

''(ca) Colocar todos os 30 4 alunos em duas filas de 15 cada uma fila para uma foto?

'''Solução:'''(ab) Precisamos preencher a seguinte linha de quatro espaços Colocar todos os 30 alunos em branco: 30 x 29 x 28 x 27. Este é o número de permutações de 4 a partir de um conjunto de 30, que é P( 30 ,4 );uma fila para uma foto?

''(bc)A resposta pode ser visualizado como o número Colocar todos os 30 alunos em duas filas de maneiras 15 cada para preencher uma fila com 30 lacunas com os 30 estudantes, que é 30! , ou P( 30, 30 );foto?''

Podemos então, começar por preencher a linha de inferior, o que pode ser feito de 30 x 29 x 28 x … x 17 x 16 maneiras'''Exemplo 4. Em seguida, preencher linha superior, que pode ser feito de 15! = 15 x 14 x 13… x 2 x 1 maneiras3. Portanto a resposta é (30 x 29 x 28 x … x 17 x 16) x (15 x 14 x 13 x … x 2 x 1) = 30!'''

'''EXEMPLO (E2, página 324)'''Um certo tipo de botão de uma fechadura de porta exige que você insira um código antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.O bloqueio é programado para reconhecer seis códigos de 4 dígitos diferentes, podendo repetir os algarismos de cada código. Quantos conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis existem?(pág 324)''

'''Solução:'''Há 5⁴=625 possíveis códigos com quatro dígitos. Portanto, há C(625,6) conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis.EXEMPLO (E3, página 324)…[[Exemplo 4.3.2 - Solução]]

'''Solução:''' O número de maneiras de escolher três mulheres é C( 10,Exemplo 4.3 ) e o numero de maneiras de escolher 10 homens é C(7,2).Usando a regra do produto para escolher três mulheres e dois homens é C( 10,3 ) x C(7,2pág 324) = 2,520.'''

'''EXEMPLO (E5, page 324)'''Sendo o conjunto S = {1,2,[[Exemplo 4.3,...,19}. Encontre o número de subconjuntos de S com numeros iguais de inteiros pares e impares.3 - Solução]]

'''Solução:Exemplo 4.3.4'''Note que, ''Quantas maneiras existem 10 inteiros ímpares de escolher uma comissão de cinco pessoas consistindo de três mulheres e 9 inteiros pares em S. Os subconjuntos a serem contados deve consistir dois homens de um grupo de k inteiros ímpares dez mulheres e k inteiros pares, onde k=1,2,3,...,9. Portanto, pela regra do produto, o número de cada tipo é Csete homens?(10, k) x C(9,k). Portanto, pela regra da soma, a resposta é C(10, k) x C(9,k) + C(10, k) x C(9,kpág 324)''

a)Em '''Exemplo 4 pilhas iguais, classificado em A,B,C,D;.3.6 '''

b''Encontre maneiras de dividir um baralho de 52 cartas, em:(pág 324)Em 4 pilhas iguais, sem classificação;''

'''Solução:'''a) Cada pilha deve conter 52/Em 4 = 13 cartas. Na sequencia, empilharemos Apilhas iguais,classificado em seguida B, depois C, e finalmente D. Então teremos C(52,13) maneiras de obter a pilha de A, C(39,13) maneiras de obter a pilha de B, C(26,13) maneiras de obter a pilha de C, e C(13,13)=1 maneiras de obter a pilha de D.Portanto pela regra do produto,teremos :C(52,13) x C(39,13) x C(26,13) x C(13,13) = <math>\frac{52!}{13!.29!} .\frac{39!}{13!.26!} .\frac{26!}{13!.13!} .\frac{13!}{13!.0!} = \frac{52!}{(13!)^4} </math>;

''b) Se nas Em 4 pilhas não houver iguais, sem classificação,então podemos permutar as quatro pilhas em 4! Maneiras. Daí a resposta é a mesma do iten anterior dividido por 4!:<math>\frac{C(52,13).C(39,13).C(26,13).C(13,13)}{4!} = \frac{52!}{(13!)^4.4!}</math>;''

'''EXEMPLO (E7, page 324)Exemplo 4.3.7 '''

Supunha ''Suponha que S = {1,2, . . ., 25} . Encontre o numero de subconjuntos de tamanho 5,tal que T:(pág 324)''

''a) consista de 2 numeros impares e 3 numeros pares.

''b) consiste de exatamente três números primos.

''c) tenha a soma dos seus elementos, menor que 20.

''d) tem, pelo menos, um número par na mesma.''

===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.4==='''Solução:Exemplo 4.4.1 ''' ''Escreva a) Há 13 numeros impares; podemos escolher dois em Cexpansão de (13,2x+2y) maneiras³.Há 12 numeros pares; podemos escolher 3 em C(12,3pág 328) maneiras'' [[Exemplo 4.4. Usando a regra do produto para encontrar o número de subconjuntos T, temos subconjuntos1 - Solução]] '''Exemplo 4.4.2 '''

''Encontre o coeficiente <math>a^{17}b) Os numeros primos em S são 2,3,5,7,11,13,17,19, and ^{23, então temos C(9,3) maneiras }</math> na expansão de selecionar 3 desses numeros.Mas também precisa selecionar 2 dos 16 números compostos para fazer T ter tamanho cinco;então C<math>(16,23a-7b) maneiras para isso^{40}</math>.Portanto pela regra do produto temos C(9,3pág 328) x C(16,2)=10.080 subconjuntos possiveis T.''

c) Há poucos subconjuntos com esta propriedade[[Exemplo 4. Então é melhor neste caso, contar diretamente o conjunto de cinco números cuja soma é inferior a 20:1,2,3,4,5, 1,.2,3,4,6, 1,2,3,4,7,1,2,3,4,8, 1,2,3,4,9, 1,3,4,5,6.Assim, existem seis desses subconjuntos possiveis.- Solução]]

===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.4==='''EXEMPLO (E1, página 328)'''Escreva a expansão de <math>(x+2y^2-\frac{1}{x} )^8</math>. (pág 328)³'' [[Exemplo 4.4.3 - Solução]]

===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.5==='''Solução:Exemplo 4.5.1 '''pelo teorema binomial:<math>(x+2y)^3 = \binom{3}{0} x^3(2y)^0+\binom{3}{1} x^2(2y)^1+\binom{3}{2} x^1(2y)^2+\binom{3}{3} x^0(2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3</math>

'''EXEMPLO (E2Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos: chocolate, geleia, açúcar, page 328)'''Encontre o coeficiente <math>manteiga de amendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a^{17}b^{23}</math> na expansão padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de <math>biscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher: (3a-7bpág 338)^{40}</math>.''

'''Solução:'''Expandindo <math>(3a-7ba)^{40}</math> usando o teorema binomial, localizamos o termo com o produto <math>a^{17}b^{23}</math>, Ao menos 3 biscoitos de chocolate e então encontramos o coeficiente:pelo menos 6 biscoitos de manteiga de amendoim

<math>(3a-7b''b)^{40} = (3a+(-7b))^{40}</math>Exatamente 3 biscoitos de chocolate e exatamente 6 biscoitos de manteiga de amendoim

= <math>\cdots + \binom{40}{17} (3a''c)^{17}(-7b)^{23} + \cdots</math>= <math>\cdots + \binom{40}{17} 3^{17}(-7)^23a^{17}b^{23} + \cdots</math>No máximo 5 biscoitos de açúcar

Assim, o coeficiente ''d) Pelo menos um dos quatro tipos de <math>a^{17}b^{23}</math> é <math>\binom{40}{17} 3^{17}(-7)^{23}</math>, que também pode ser escrito como <math>\binom{40}{23} 3^{17}(-7)^{23}</math>biscoitos.''

'''EXEMPLO (E3, page 328)'''Escreva a expansão de <math>(x^2[[Exemplo 4.5.1 -\frac{1}{x} )^8</math>Solução]]

<math>(x^2-\frac{1}{x} )^8 = \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} (x^2)^i(\frac{-1}{x} )^{8-i}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} \frac{x^{2i}(-1)^{8-i}}{x^{8-i}}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} x^{3i-8}(-1)^{8-i}</math><math>= x^{-8}-8x^{-5}+28x^{-2}-56x^{1}+70x^{'''Exemplo 4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math><math>= \frac{1}{x^8} -\frac{8}{x^.5} +\frac{28}{x^.2} -56x^{1}+70x^{4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math>'''

===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.5==='''EXEMPLO Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED? (E1, page 338pág 339)'''Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos: chocolate, geleia, açúcar, manteiga de amendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de biscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher:

c) No máximo '''Exemplo 4.5 biscoitos de açúcar.3'''

d) Pelo menos um dos quatro tipos ''Um frasco contém 30 moedas de 1 centavo, 20 moedas de 5 centavos, 20 moedas de 10 centavos, e 15 moedas de 25 centavos. (As moedas de biscoitoscada denominação são consideradas idênticas.) (pág 339)''

'''EXEMPLO (E2, page 339b)Encontre o número de possíveis ‘punhados’ de 12 moedas.'''Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED?

'''Solução: '''Na palavra há dois ‘D’, três ‘E’, um ‘C’, um ‘I’ e um ‘V’[[Exemplo 4. Portanto, o número de permutações de DECEIVED é: <math>\frac{8!}{2!5.3!.1!.1!.1!} = \frac{8!}{2!.3!}</math>- Solução]]

(a) Encontre o número de maneiras de colocar todas as 85 moedas em uma fileira'''Exemplo 4.5.4'''

''De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras de “CHEMISTS” em uma fila? (bpág 339) Encontre o número de possíveis ‘punhados’ de 12 moedas.''

'''Solução:'''(a) A resposta não é 85! uma vez que as moedas não são todos distintos[[Exemplo 4. Pense no problema como um de fazer uma palavra com 30 p's, 20 n's, 20 d's, e 15 q's5. Tendo em conta as cartas idênticas, temos<math>\frac{85!}{30!.20!.20!.15!}</math>4 - Solução]]

(b) Quando se contar o número de ‘punhados’ de 12 moedas, estamos apenas preocupados com o número de cada denominação escolhida===Exemplos adicionais relativas a Seção 4. Por exemplo, poderíamos escolher 9 moedas de 1 centavos, 2 de 5 centavos, e uma de 25 centavos, ou podemos escolher três de cada denominação. Assim, o número de um ‘punhados’ de 12 moedas é igual ao número inteiro não negativo de soluções para a equação:<math>p+n+d+q 6=== 12</math>onde P é o número de moedas de '''Exemplo 4.6.1 centavo, n é o número de moedas de 5 centavos, d é o número de moedas de 10 centavos, e q é o número de 25 centavos. O número de soluções para esta equação é:<math>C(15,3) = 455</math>'''

'''EXEMPLO Coloque as seguintes permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, na ordem lexicográfica : (E4, page 339pág 345)'''De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras de “CHEMISTS” em uma fila?

(b) os dois S serem selecionados'''Exemplo 4.6.2'''

No primeiro teste padrão''Encontre a permutação de 1, 2, 3, existem 7! Maneiras de colocar as 7 letras distintas 4, 5, 6 imediatamente após 263.541 em uma fileiraordem lexicográfica.(pág 345)''

No segundo padrão, as sete letras selecionadas têm dois S’s, por isso há 7! / [[Exemplo 4.6.2! Maneiras de colocar essas letras em uma fileira. - Solução]]

===Exemplos adicionais relativas a Seção '''Exemplo 4.6===.3 '''EXEMPLO (E1, página 345)'''Coloque as seguintes permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, na ordem lexicográfica :

<math>461325''Encontre a permutação de 1, 3261452, 5162433, 3241654, 4612355, 324615, 462135</math>6 imediatamente antes de 261.345 em ordem lexicográfica. (pág 345)''

[[Exemplo 4.6.3 - Solução: EXEMPLO (E1, página 345)]]

'''EXEMPLO (E3, página 345)'''Encontre a permutação Se as permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente antes de 261.345 forem colocadas em ordem lexicográfica, com 123.456 na posição 1, 123.465 na posição 2, etc., encontrar a permutação na posição 362. (pág 345)''

[[Exemplo 4.6.4 - Solução: EXEMPLO (E3, página 345)]]

'''EXEMPLO (E5, página 345)'''Se as permutações de 1,2,3,4,5 forem colocadas em ordem lexicográfica, em que posição estará a permutação 41253?(pág 345)''

[[Exemplo 4.6.5 - Solução: EXEMPLO (E5, página 345)]]