[[Exemplo 4.2.5 - Solução]]
===Exemplos adicionais relativas relativos a Seção 4.3===
'''EXEMPLO (E1, pág 321)Exemplo 4.3.1'''
''Uma classe tem 30 alunos matriculados. De quantas maneiras pode-se:(pág 321)
''(a) Colocar 4 alunos em uma fila para uma foto?
''(b) Colocar todos os 30 alunos em uma fila para uma foto?
''(c) Colocar todos os 30 alunos em duas filas de 15 cada para uma foto?''
'''[[Exemplo 4.3.1 - Solução:''']]
(a) Precisamos preencher a seguinte linha de quatro espaços em branco: 30 x 29 x 28 x 27'''Exemplo 4.3. Este é o número de permutações de 4 a partir de um conjunto de 30, que é P( 30 ,4 );2 '''
(b)A resposta pode ser visualizado como o número ''Um certo tipo de botão de maneiras para preencher uma fila com 30 lacunas com os 30 estudantesfechadura de porta exige que você insira um código antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes, que numerados de 1 a 5.O bloqueio é 30! programado para reconhecer seis códigos de 4 dígitos diferentes, ou Ppodendo repetir os algarismos de cada código. Quantos conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis existem?( 30, 30 pág 324);''
(c) Podemos ver que o número de maneiras para preencher em duas filas,é cada uma com 15 espaços em branco, com os alunos 30:[[Exemplo 4.3.2 - Solução]]
Podemos então, começar por preencher a linha de inferior, o que pode ser feito de 30 x 29 x 28 x … x 17 x 16 maneiras. Em seguida, preencher linha superior, que pode ser feito de 15! = 15 x 14 x 13… x 2 x 1 maneiras. Portanto a resposta é (30 x 29 x 28 x … x 17 x 16) x (15 x 14 x 13 x … x 2 x 1) = 30!
'''EXEMPLO Exemplo 4.3.3 (E2, página pág 324)'''
Um certo tipo de botão de uma fechadura de porta exige que você insira um código antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.O bloqueio é programado para reconhecer seis códigos de 4 dígitos diferentes, podendo repetir os algarismos de cada código. Quantos conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis existem?
'''[[Exemplo 4.3.3 - Solução:''']]
Há 5⁴=625 possíveis códigos com quatro dígitos'''Exemplo 4. Portanto, há C(625,6) conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis3.4'''EXEMPLO ''Quantas maneiras existem de escolher uma comissão de cinco pessoas consistindo de três mulheres e dois homens de um grupo de dez mulheres e sete homens?(E3, página pág 324)…..''
'''EXAMPLE (E4, page 324)'''Quantas maneiras existem de escolher uma comissão de cinco pessoas consistindo de três mulheres e dois homens de um grupo de dez mulheres e sete homens?[[Exemplo 4.3.4 - Solução]]
'''Solução:Exemplo 4.3.5 ''' O número de maneiras de escolher três mulheres é C( 10,3 ) e o numero de maneiras de escolher 10 homens é C(7,2).Usando a regra do produto para escolher três mulheres e dois homens é C( 10,3 ) x C(7,2) = 2,520.
''Sendo o conjunto S = {1,2,3,...,19}. Encontre o número de subconjuntos de S com numeros iguais de inteiros pares e impares.(pág 324)''
'''EXEMPLO (E5, page 324)'''Sendo o conjunto S = {1,2,[[Exemplo 4.3,...,19}. Encontre o número de subconjuntos de S com numeros iguais de inteiros pares e impares.5 - Solução]]
'''Solução:Exemplo 4.3.6 '''
Note que, existem 10 inteiros ímpares e 9 inteiros pares em S. Os subconjuntos a serem contados deve consistir ''Encontre maneiras de k inteiros ímpares e k inteiros pares, onde k=1,2,3,...,9. Portanto, pela regra do produto, o número dividir um baralho de cada tipo é C(1052 cartas, k) x Cem:(9,k). Portanto, pela regra da soma, a resposta é C(10, k) x C(9,k) + C(10, k) x C(9,kpág 324)''
''a)Em 4 pilhas iguais, classificado em A,B,C,D;
''b)Em 4 pilhas iguais, sem classificação;''
[[Exemplo 4.3.6 - Solução]]
'''EXEMPLO (E6, page 324)Exemplo 4.3.7 '''
''Suponha que S = {1,2, . . ., 25} . Encontre maneiras o numero de dividir um baralho subconjuntos de 52 cartastamanho 5, emtal que T:(pág 324)''
''a)Em 4 pilhas iguais, classificado em A,B,C,D;consista de 2 numeros impares e 3 numeros pares.
''b)Em 4 pilhas iguais, sem classificação;consiste de exatamente três números primos.
'''Solução:'''c) tenha a soma dos seus elementos, menor que 20.
a''d) Cada pilha deve conter 52/4 = 13 cartas. Na sequencia, empilharemos A,em seguida B, depois C, e finalmente D. Então teremos C(52,13) maneiras de obter a pilha de A, C(39,13) maneiras de obter a pilha de B, C(26,13) maneiras de obter a pilha de C, e C(13,13)=1 maneiras de obter a pilha de D.Portanto pela regra do produto,teremos :C(52,13) x C(39,13) x C(26tem,13) x C(13pelo menos,13) = <math>\frac{52!}{13!.29!} .\frac{39!}{13!.26!} .\frac{26!}{13!.13!} .\frac{13!}{13!um número par na mesma.0!} = \frac{52!}{(13!)^4} </math>''
b) Se nas [[Exemplo 4 pilhas não houver classificação,então podemos permutar as quatro pilhas em 4! Maneiras. Daí a resposta é a mesma do iten anterior dividido por 4!:<math>\frac{C(52,13).C(39,13).C(26,13).C(13,13)}{4!} = \frac{52!}{(13!)^43.4!}</math>7 - Solução]]
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.4===
'''Exemplo 4.4.1 '''
'''EXEMPLO Escreva a expansão de (E7, page 324x+2y)³. (pág 328)'''
Supunha que S = {1,2, [[Exemplo 4. 4. ., 25} . Encontre o numero de subconjuntos de tamanho 5,tal que T:1 - Solução]]
a) consista de '''Exemplo 4.4.2 numeros impares e 3 numeros pares.'''
''Encontre o coeficiente <math>a^{17}b^{23}</math> na expansão de <math>(3a-7b) consiste de exatamente três números primos^{40}</math>.(pág 328)''
c) tenha a soma dos seus elementos, menor que 20[[Exemplo 4.4.2 - Solução]]
d) tem, pelo menos, um número par na mesma'''Exemplo 4.4.3 '''
''Escreva a expansão de <math>(x^2-\frac{1}{x} )^8</math>. (pág 328)''
'''[[Exemplo 4.4.3 - Solução:''']]
===Exemplos adicionais relativas a) Há 13 numeros impares; podemos escolher dois em C(13,2) maneirasSeção 4.Há 12 numeros pares; podemos escolher 3 em C(12,3) maneiras5==='''Exemplo 4. Usando a regra do produto para encontrar o número de subconjuntos T, temos subconjuntos5.1 '''
b) Os numeros primos em S são 2,3,5''Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos: chocolate,7geleia,11açúcar,13,17,19, and 23, então temos C(9,3) maneiras manteiga de selecionar 3 desses numerosamendoim.Mas também precisa selecionar 2 dos 16 números compostos para fazer T ter tamanho cinco;então C(16,2) maneiras para issoVocê pode comprar um saco com 30 biscoitos.Portanto pela regra do produto temos C(9Assumindo que a padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de biscoito,3) x Cquantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher: (16,2pág 338)=10.080 subconjuntos possiveis T.''
c''a) Há poucos subconjuntos com esta propriedade. Então é melhor neste caso, contar diretamente o conjunto Ao menos 3 biscoitos de cinco números cuja soma é inferior a 20:1,2,3,4,5, 1,2,3,4,chocolate e pelo menos 6, 1,2,3,4,7,1,2,3,4,8, 1,2,3,4,9, 1,3,4,5,6.Assim, existem seis desses subconjuntos possiveis.biscoitos de manteiga de amendoim
d''b) É mais fácil para contar o número total Exatamente 3 biscoitos de subconjuntos chocolate e exatamente 6 biscoitos de tamanho 5, e depois subtrair o número manteiga de subconjuntos sem números pares neles:<math>C(25, 5)-C(13,5) = 51,843</math>amendoim
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.4==='''EXEMPLO (E1, página 328c)'''Escreva a expansão No máximo 5 biscoitos de (x+2y)³.açúcar
'''Solução:'d) Pelo menos um dos quatro tipos de biscoitos.''pelo teorema binomial:<math>(x+2y)^3 = \binom{3}{0} x^3(2y)^0+\binom{3}{1} x^2(2y)^1+\binom{3}{2} x^1(2y)^2+\binom{3}{3} x^0(2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3</math>
'''EXEMPLO (E2, page 328)'''Encontre o coeficiente <math>a^{17}b^{23}</math> na expansão de <math>(3a[[Exemplo 4.5.1 -7b)^{40}</math>.Solução]]
'''Solução:'''
Expandindo <math>(3a-7b)^{40}</math> usando o teorema binomial, localizamos o termo com o produto <math>a^{17}b^{23}</math>, e então encontramos o coeficiente:
<math>(3a-7b)^{40} = (3a+(-7b))^{40}</math>'''Exemplo 4.5.2 '''
= <math>\cdots + \binom{40}{17} ''Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED? (3apág 339)^{17}(-7b)^{23} + \cdots</math>= <math>\cdots + \binom{40}{17} 3^{17}(-7)^23a^{17}b^{23} + \cdots</math>''
Assim, o coeficiente de <math>a^{17}b^{23}</math> é <math>\binom{40}{17} 3^{17}(-7)^{23}</math>, que também pode ser escrito como <math>\binom{40}{23} 3^{17}([[Exemplo 4.5.2 -7)^{23}</math>.Solução]]
'''EXEMPLO (E3, page 328)'''
Escreva a expansão de <math>(x^2-\frac{1}{x} )^8</math>
'''Solução:Exemplo 4.5.3'''Usa-se o teorema binomial. Em seguida, várias regras exponenciais para simplificar os termos.
<math>(x^2-\frac{''Um frasco contém 30 moedas de 1}{x} )^8 = \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} (x^2)^i(\frac{-1}{x} )^{8-i}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} \frac{x^{2i}centavo, 20 moedas de 5 centavos, 20 moedas de 10 centavos, e 15 moedas de 25 centavos. (-1As moedas de cada denominação são consideradas idênticas.)^{8-i}}{x^{8-i}}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} x^{3i-8}(-1pág 339)^{8-i}</math><math>= x^{-8}-8x^{-5}+28x^{-2}-56x^{1}+70x^{4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math><math>= \frac{1}{x^8} -\frac{8}{x^5} +\frac{28}{x^2} -56x^{1}+70x^{4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math>''
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.5==='''EXEMPLO (E1, page 338a)'''Uma padaria vende quatro tipos Encontre o número de biscoitos: chocolate, geleia, açúcar, manteiga maneiras de amendoimcolocar todas as 85 moedas em uma fileira. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de biscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher:
a''(b) Ao menos 3 biscoitos Encontre o número de chocolate e pelo menos 6 biscoitos possíveis ‘punhados’ de manteiga de amendoim12 moedas.''
b) Exatamente [[Exemplo 4.5.3 biscoitos de chocolate e exatamente 6 biscoitos de manteiga de amendoim- Solução]]
c) No máximo 5 biscoitos de açúcar
d) Pelo menos um dos quatro tipos de biscoitos'''Exemplo 4.5.4'''
Solução:''De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras de “CHEMISTS” em uma fila? (pág 339)''
'''EXEMPLO (E2, page 339)'''Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED? [[Exemplo 4.5.4 - Solução]]
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.6==='''Solução: Exemplo 4.6.1'''Na palavra há dois ‘D’, três ‘E’, um ‘C’, um ‘I’ e um ‘V’. Portanto, o número de permutações de DECEIVED é: <math>\frac{8!}{2!.3!.1!.1!.1!} = \frac{8!}{2!.3!}</math>
'''EXEMPLO (E3, page 339)'''Um frasco contém 30 moedas Coloque as seguintes permutações de 1 centavo, 20 moedas de 2, 3, 4, 5 centavos, 20 moedas de 10 centavos6, e 15 moedas de 25 centavos. na ordem lexicográfica : (As moedas de cada denominação são consideradas idênticas.pág 345)''
(a) Encontre o número de maneiras de colocar todas as 85 moedas em uma fileira.<math>461325, 326145, 516243, 324165, 461235, 324615, 462135</math>
(b) Encontre o número de possíveis ‘punhados’ de 12 moedas[[Exemplo 4.6.1 - Solução]]
'''Solução:'''
(a) A resposta não é 85! uma vez que as moedas não são todos distintos. Pense no problema como um de fazer uma palavra com 30 p's, 20 n's, 20 d's, e 15 q's. Tendo em conta as cartas idênticas, temos
<math>\frac{85!}{30!.20!.20!.15!}</math>
(b) Quando se contar o número de ‘punhados’ de 12 moedas, estamos apenas preocupados com o número de cada denominação escolhida'''Exemplo 4.6. Por exemplo, poderíamos escolher 9 moedas de 1 centavos, 2 de 5 centavos, e uma de 25 centavos, ou podemos escolher três de cada denominação. Assim, o número de um ‘punhados’ de 12 moedas é igual ao número inteiro não negativo de soluções para a equação:<math>p+n+d+q = 12</math>onde P é o número de moedas de 1 centavo, n é o número de moedas de 5 centavos, d é o número de moedas de 10 centavos, e q é o número de 25 centavos. O número de soluções para esta equação é:<math>C(15,3) = 455</math>'''
'''EXEMPLO Encontre a permutação de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente após 263.541 em ordem lexicográfica. (E4, page 339pág 345)'''De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras de “CHEMISTS” em uma fila?
'''[[Exemplo 4.6.2 - Solução:''']]
Existem dois padrões a serem considerados:
(a) 7 letras distintas são selecionados (ou seja, apenas um S é selecionado), e'''Exemplo 4.6.3 '''
(b) os dois S serem selecionados. No primeiro teste padrão, existem 7! Maneiras de colocar as 7 letras distintas em uma fileira. No segundo padrão, as sete letras selecionadas têm dois S’s, por isso há 7! / 2! Maneiras de colocar essas letras em uma fileira. Adicionando os totais obtidos a partir dos dois casos, temos o número total de maneiras de colocar sete dos oito cartas em uma fileira:<math>7!+6.\frac{7!}{2!}</math> ===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.6==='''EXEMPLO (E1, página 345)'''Coloque as seguintes permutações Encontre a permutação de 1, 2, 3, 4, 5, 6, na imediatamente antes de 261.345 em ordem lexicográfica : <math>461325, 326145, 516243, 324165, 461235, 324615, 462135</math>. (pág 345)''
[[Exemplo 4.6.3 - Solução: EXEMPLO (E1, página 345)]]
'''EXEMPLO (E2, página 345)'''
Encontre a permutação de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente após 263.541 em ordem lexicográfica.
[[Solução: EXEMPLO (E2, página 345)]]'''Exemplo 4.6.4 '''
'''EXEMPLO (E3, página 345)'''Encontre a permutação Se as permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente antes de 261.345 forem colocadas em ordem lexicográfica, com 123.456 na posição 1, 123.465 na posição 2, etc., encontrar a permutação na posição 362. (pág 345)''
[[Exemplo 4.6.4 - Solução: EXEMPLO (E3, página 345)]]
'''EXEMPLO (E4, página 345)'''
Se as permutações de 1,2,3,4,5,6 forem colocadas em ordem lexicográfica, com 123.456 na posição 1, 123.465 na posição 2, etc., encontrar a permutação na posição 362.
[[Solução: EXEMPLO (E4, página 345)]]'''Exemplo 4.6.5 '''
'''EXEMPLO (E5, página 345)'''Se as permutações de 1,2,3,4,5 forem colocadas em ordem lexicográfica, em que posição estará a permutação 41253?(pág 345)''
[[Exemplo 4.6.5 - Solução: EXEMPLO (E5, página 345)]]