[[Exemplo 4.2.5 - Solução]]
===Exemplos adicionais relativas relativos a Seção 4.3===
'''EXEMPLO (E1, pág 321)Exemplo 4.3.1'''
''Uma classe tem 30 alunos matriculados. De quantas maneiras pode-se:(pág 321)
''(a) Colocar 4 alunos em uma fila para uma foto?
''(b) Colocar todos os 30 alunos em uma fila para uma foto?
''(c) Colocar todos os 30 alunos em duas filas de 15 cada para uma foto?''
'''[[Exemplo 4.3.1 - Solução:''']]
(a) Precisamos preencher a seguinte linha de quatro espaços em branco: 30 x 29 x 28 x 27'''Exemplo 4.3. Este é o número de permutações de 4 a partir de um conjunto de 30, que é P( 30 ,4 );2 '''
(b)A resposta pode ser visualizado como o número ''Um certo tipo de botão de maneiras para preencher uma fila com 30 lacunas com os 30 estudantesfechadura de porta exige que você insira um código antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes, que numerados de 1 a 5.O bloqueio é 30! programado para reconhecer seis códigos de 4 dígitos diferentes, ou Ppodendo repetir os algarismos de cada código. Quantos conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis existem?( 30, 30 pág 324);''
(c) Podemos ver que o número de maneiras para preencher em duas filas,é cada uma com 15 espaços em branco, com os alunos 30:[[Exemplo 4.3.2 - Solução]]
Podemos então, começar por preencher a linha de inferior, o que pode ser feito de 30 x 29 x 28 x … x 17 x 16 maneiras. Em seguida, preencher linha superior, que pode ser feito de 15! = 15 x 14 x 13… x 2 x 1 maneiras. Portanto a resposta é (30 x 29 x 28 x … x 17 x 16) x (15 x 14 x 13 x … x 2 x 1) = 30!
'''EXEMPLO (E2, página 324)''' Um certo tipo de botão de uma fechadura de porta exige que você insira um código antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.O bloqueio é programado para reconhecer seis códigos de Exemplo 4 dígitos diferentes, podendo repetir os algarismos de cada código. Quantos conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis existem? '''Solução:''' Há 5⁴=625 possíveis códigos com quatro dígitos. Portanto, há C(625,6) conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis3. '''EXEMPLO 3 (E3, página pág 324)'''
...
'''EXAMPLE (E4, page 324)'''Quantas maneiras existem de escolher uma comissão de cinco pessoas consistindo de três mulheres e dois homens de um grupo de dez mulheres e sete homens? '''Solução:''' O número de maneiras de escolher três mulheres é C( 10,3 ) e o numero de maneiras de escolher 10 homens é C(7,2)[[Exemplo 4.Usando a regra do produto para escolher três mulheres e dois homens é C( 10,3 ) x C(7,2) = 2,520. '''EXEMPLO (E5, page 324)''' Sendo o conjunto S = {1,2,3,...,19}. Encontre o número de subconjuntos de S com numeros iguais de inteiros pares e impares. '''- Solução:''' Note que, existem 10 inteiros ímpares e 9 inteiros pares em S. Os subconjuntos a serem contados deve consistir de k inteiros ímpares e k inteiros pares, onde k=1,2,3,...,9. Portanto, pela regra do produto, o número de cada tipo é C(10, k) x C(9,k). Portanto, pela regra da soma, a resposta é C(10, k) x C(9,k) + C(10, k) x C(9,k) '''EXEMPLO (E6, page 324)''']]
Encontre '''Exemplo 4.3.4'''''Quantas maneiras existem de escolher uma comissão de cinco pessoas consistindo de três mulheres e dois homens de dividir um baralho grupo de 52 cartas, em:dez mulheres e sete homens?(pág 324)''
a)Em [[Exemplo 4 pilhas iguais, classificado em A,B,C,D;.3.4 - Solução]]
b)Em '''Exemplo 4 pilhas iguais, sem classificação;.3.5 '''
'''Solução:'Sendo o conjunto S = {1,2,3,...,19}. Encontre o número de subconjuntos de S com numeros iguais de inteiros pares e impares.(pág 324)''
a) Cada pilha deve conter 52/[[Exemplo 4 = 13 cartas. Na sequencia, empilharemos A,em seguida B, depois C, e finalmente D3. Então teremos C(52,13) maneiras de obter a pilha de A, C(39,13) maneiras de obter a pilha de B, C(26,13) maneiras de obter a pilha de C, e C(13,13)=1 maneiras de obter a pilha de D.Portanto pela regra do produto,teremos :C(52,13) x C(39,13) x C(26,13) x C(13,13) = <math>\frac{52!}{13!.29!} .\frac{39!}{13!.26!} .\frac{26!}{13!.13!} .\frac{13!}{13!.0!} = \frac{52!}{(13!)^4} </math>5 - Solução]]
b) Se nas '''Exemplo 4 pilhas não houver classificação,então podemos permutar as quatro pilhas em 4! Maneiras. Daí a resposta é a mesma do iten anterior dividido por 4!:<math>\frac{C(52,13).C(39,13).C(26,13).C(13,13)}{4!} = \frac{52!}{(13!)^43.4!}</math>6 '''
'''EXEMPLO Encontre maneiras de dividir um baralho de 52 cartas, em:(E7, page pág 324)'''
Supunha que S = {1''a)Em 4 pilhas iguais,2classificado em A, . . .B, 25} . Encontre o numero de subconjuntos de tamanho 5C,tal que T:D;
a''b) consista de 2 numeros impares e 3 numeros pares.Em 4 pilhas iguais, sem classificação;''
b) consiste de exatamente três números primos[[Exemplo 4.3.6 - Solução]]
c) tenha a soma dos seus elementos, menor que 20'''Exemplo 4.3.7 '''
d) tem''Suponha que S = {1, pelo menos2, um número par na mesma.. ., 25} . Encontre o numero de subconjuntos de tamanho 5,tal que T:(pág 324)''
'''Solução:'''a) consista de 2 numeros impares e 3 numeros pares.
a''b) Há 13 numeros impares; podemos escolher dois em C(13,2) maneiras.Há 12 numeros pares; podemos escolher 3 em C(12,3) maneiras. Usando a regra do produto para encontrar o número consiste de subconjuntos T, temos subconjuntosexatamente três números primos.
b''c) Os numeros primos em S são 2,3,5,7,11,13,17,19, and 23, então temos C(9,3) maneiras de selecionar 3 desses numeros.Mas também precisa selecionar 2 tenha a soma dos 16 números compostos para fazer T ter tamanho cinco;então C(16,2) maneiras para isso.Portanto pela regra do produto temos C(9,3) x C(16seus elementos,2)=10.080 subconjuntos possiveis Tmenor que 20.
c''d) Há poucos subconjuntos com esta propriedade. Então é melhor neste caso, contar diretamente o conjunto de cinco números cuja soma é inferior a 20:1,2,3,4,5, 1,2,3,4,6, 1,2,3,4tem,7,1,2,3,4,8, 1,2,3,4,9, 1,3,4,5,6.Assimpelo menos, existem seis desses subconjuntos possiveisum número par na mesma.''
d) É mais fácil para contar o número total de subconjuntos de tamanho 5, e depois subtrair o número de subconjuntos sem números pares neles:<math>C(25, 5)[[Exemplo 4.3.7 -C(13,5) = 51,843</math>Solução]]
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.4===
'''EXEMPLO (E1, página 328)Exemplo 4.4.1 '''Escreva a expansão de (x+2y)³.
'''Solução:'''pelo teorema binomial:<math>Escreva a expansão de (x+2y)^3 = \binom{3}{0} x^3³. (2ypág 328)^0+\binom{3}{1} x^2(2y)^1+\binom{3}{2} x^1(2y)^2+\binom{3}{3} x^0(2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3</math>''
'''EXEMPLO (E2, page 328)'''Encontre o coeficiente <math>a^{17}b^{23}</math> na expansão de <math>(3a[[Exemplo 4.4.1 -7b)^{40}</math>.Solução]]
'''Solução:Exemplo 4.4.2 '''Expandindo <math>(3a-7b)^{40}</math> usando o teorema binomial, localizamos o termo com o produto <math>a^{17}b^{23}</math>, e então encontramos o coeficiente:
''Encontre o coeficiente <math>(3a-7b)a^{17}b^{4023} = </math> na expansão de <math>(3a+(-7b))^{40}</math>. (pág 328)''
= <math>\cdots + \binom{40}{17} (3a)^{17}([[Exemplo 4.4.2 -7b)^{23} + \cdots</math>= <math>\cdots + \binom{40}{17} 3^{17}(-7)^23a^{17}b^{23} + \cdots</math>Solução]]
Assim, o coeficiente de <math>a^{17}b^{23}</math> é <math>\binom{40}{17} 3^{17}(-7)^{23}</math>, que também pode ser escrito como <math>\binom{40}{23} '''Exemplo 4.4.3^{17}(-7)^{23}</math>.'''
'''EXEMPLO (E3, page 328)'''Escreva a expansão de <math>(x^2-\frac{1}{x} )^8</math>. (pág 328)''
'''Solução:'''Usa-se o teorema binomial[[Exemplo 4. Em seguida, várias regras exponenciais para simplificar os termos4. <math>(x^23 -\frac{1}{x} )^8 = \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} (x^2)^i(\frac{-1}{x} )^{8-i}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} \frac{x^{2i}(-1)^{8-i}}{x^{8-i}}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} x^{3i-8}(-1)^{8-i}</math><math>= x^{-8}-8x^{-5}+28x^{-2}-56x^{1}+70x^{4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math><math>= \frac{1}{x^8} -\frac{8}{x^5} +\frac{28}{x^2} -56x^{1}+70x^{4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math>Solução]]
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.5===
'''EXEMPLO (E1, page 338)Exemplo 4.5.1 '''Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos: chocolate, geleia, açúcar, manteiga de amendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de biscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher:
a) Ao menos 3 ''Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos : chocolate, geleia, açúcar, manteiga de chocolate e amendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a padaria tem pelo menos 6 biscoitos 30 de manteiga cada tipo de amendoimbiscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher: (pág 338)''
b''a) Exatamente Ao menos 3 biscoitos de chocolate e exatamente pelo menos 6 biscoitos de manteiga de amendoim
c''b) No máximo 5 Exatamente 3 biscoitos de açúcarchocolate e exatamente 6 biscoitos de manteiga de amendoim
d''c) Pelo menos um dos quatro tipos No máximo 5 biscoitos de biscoitos.açúcar
Solução:''d) Pelo menos um dos quatro tipos de biscoitos.''
'''EXEMPLO (E2, page 339)'''Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED? [[Exemplo 4.5.1 - Solução]]
'''Solução: '''
Na palavra há dois ‘D’, três ‘E’, um ‘C’, um ‘I’ e um ‘V’. Portanto, o número de permutações de DECEIVED é:
<math>\frac{8!}{2!.3!.1!.1!.1!} = \frac{8!}{2!.3!}</math>
'''EXEMPLO (E3, page 339)Exemplo 4.5.2 '''Um frasco contém 30 moedas de 1 centavo, 20 moedas de 5 centavos, 20 moedas de 10 centavos, e 15 moedas de 25 centavos. (As moedas de cada denominação são consideradas idênticas.)
''Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED? (apág 339) Encontre o número de maneiras de colocar todas as 85 moedas em uma fileira.''
(b) Encontre o número de possíveis ‘punhados’ de 12 moedas[[Exemplo 4.5.2 - Solução]]
'''Solução:'''
(a) A resposta não é 85! uma vez que as moedas não são todos distintos. Pense no problema como um de fazer uma palavra com 30 p's, 20 n's, 20 d's, e 15 q's. Tendo em conta as cartas idênticas, temos
<math>\frac{85!}{30!.20!.20!.15!}</math>
(b) Quando se contar o número de ‘punhados’ de 12 moedas, estamos apenas preocupados com o número de cada denominação escolhida'''Exemplo 4. Por exemplo, poderíamos escolher 9 moedas de 1 centavos, 2 de 5 centavos, e uma de 25 centavos, ou podemos escolher três de cada denominação. Assim, o número de um ‘punhados’ de 12 moedas é igual ao número inteiro não negativo de soluções para a equação:<math>p+n+d+q = 12</math>onde P é o número de moedas de 1 centavo, n é o número de moedas de 5 centavos, d é o número de moedas de 10 centavos, e q é o número de 25 centavos. O número de soluções para esta equação é:<math>C(15,3) = 455</math>'''
'''EXEMPLO Um frasco contém 30 moedas de 1 centavo, 20 moedas de 5 centavos, 20 moedas de 10 centavos, e 15 moedas de 25 centavos. (As moedas de cada denominação são consideradas idênticas.) (E4, page pág 339)'''De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras de “CHEMISTS” em uma fila?
'''Solução:'''(a) Encontre o número de maneiras de colocar todas as 85 moedas em uma fileira.
Existem dois padrões a serem considerados:''(b) Encontre o número de possíveis ‘punhados’ de 12 moedas.''
(a) 7 letras distintas são selecionados (ou seja, apenas um S é selecionado), e[[Exemplo 4.5.3 - Solução]]
(b) os dois S serem selecionados.
No primeiro teste padrão, existem 7! Maneiras de colocar as 7 letras distintas em uma fileira'''Exemplo 4.5.4'''
No segundo padrão, as sete ''De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras selecionadas têm dois S’s, por isso há 7! / 2! Maneiras de colocar essas letras “CHEMISTS” em uma fileira. fila? (pág 339)''
Adicionando os totais obtidos a partir dos dois casos, temos o número total de maneiras de colocar sete dos oito cartas em uma fileira:<math>7!+6[[Exemplo 4.\frac{7!}{2!}</math>5.4 - Solução]]
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.6===
'''EXEMPLO (E1, página 345)Exemplo 4.6.1''' ''Coloque as seguintes permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, na ordem lexicográfica :(pág 345)''
<math>461325, 326145, 516243, 324165, 461235, 324615, 462135</math>
[[Exemplo 4.6.1 - Solução]] '''Solução:Exemplo 4.6.2'''
Procedendo do menor ao maior''Encontre a permutação de 1, as permutações são:2, 3, 4, 5, 6 imediatamente após 263.541 em ordem lexicográfica. (pág 345)''
324165, 324615, 326145, 461235, 461325, 462135, 516243[[Exemplo 4.6.2 - Solução]]
'''EXEMPLO (E2, página 345)'''
Encontre a permutação de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente após 263.541 em ordem lexicográfica.
'''Solução:Exemplo 4.6.3 '''
Os dígitos 5, 4, ''Encontre a permutação de 1 estão em ordem decrescente, por isso precisamos aumentar o dígito seguinte2, 3. Substitui-lo por , 4 e, em seguida5, colocar os dígitos restantes 6 imediatamente antes de 261.345 em ordem crescente, temos 264.1355lexicográfica.(pág 345)''
'''EXEMPLO (E3, página 345)'''Encontre a permutação de 1, 2, 3, [[Exemplo 4, 5, .6 imediatamente antes de 261.345 em ordem lexicográfica.3 - Solução]]
'''Solução:'''
Uma vez que os quatro últimos dígitos, 1345, estão em ordem crescente, a permutação que vem imediatamente antes deste deve ter um “5” na segunda posição e os quatro dígitos após o “5”, em ordem decrescente'''Exemplo 4. Assim, o antecessor de 261.345 é 256.4316.4 '''
'''EXEMPLO (E4, página 345)'''Se as permutações de 1,2,3,4,5,6 forem colocadas em ordem lexicográfica, com 123.456 na posição 1, 123.465 na posição 2, etc., encontrar a permutação na posição 362.(pág 345)''
'''[[Exemplo 4.6.4 - Solução:''']]
Existem 6! = 720 permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6. O primeiro 120 (isto é, as permutações em posições de 1 a 120) começa com um “1”, o segundo 120 (nas posições 121 a 240) começar com “2”, etc. Assim, a primeira permutação começando com “4”, 412,356, é na posição 361. Assim , a próxima permutação, 412.365, vai estar na posição 362.
'''EXEMPLO (E5, página 345)Exemplo 4.6.5 '''Se as permutações de 1,2,3,4,5 forem colocadas em ordem lexicográfica, em que posição estará a permutação 41253?
'''Solução:'Se as permutações de 1,2,3,4,5 forem colocadas em ordem lexicográfica, em que posição estará a permutação 41253? (pág 345)''
Existem [[Exemplo 4! = 24 permutações de 1, 2, 3, 4, 5 que começam com 1; estas permutações estão em posições de 1 a 24. Da mesma forma, as permutações em posições 25 a 48 começam com 2 e as permutações em posições 49 através de 72 começam com 3 . Assim, a primeira permutação começando com 4, 41235, está na posição 73. Por conseguinte 41253 está na posição 746.5 - Solução]]