[[Exemplo 4.2.5 - Solução]]
===Exemplos adicionais relativas relativos a Seção 4.3===
'''Exemplo 4.3.1'''
''(c) Colocar todos os 30 alunos em duas filas de 15 cada para uma foto?''
'''Solução:''' (a) Precisamos preencher a seguinte linha de quatro espaços em branco: 30 x 29 x 28 x 27. Este é o número de permutações de [[Exemplo 4 a partir de um conjunto de 30, que é P( 30 ,4 ); (b)A resposta pode ser visualizado como o número de maneiras para preencher uma fila com 30 lacunas com os 30 estudantes, que é 30! , ou P( 30, 30 ); (c) Podemos ver que o número de maneiras para preencher em duas filas,é cada uma com 15 espaços em branco, com os alunos 30: Podemos então, começar por preencher a linha de inferior, o que pode ser feito de 30 x 29 x 28 x … x 17 x 16 maneiras. Em seguida, preencher linha superior, que pode ser feito de 15! = 15 x 14 x 13… x 2 x 1 maneiras3. Portanto a resposta é (30 x 29 x 28 x … x 17 x 16) x (15 x 14 x 13 x … x 2 x 1) = 30!- Solução]]
'''Exemplo 4.3.2 '''
''Um certo tipo de botão de uma fechadura de porta exige que você insira um código antes que a fechadura abra.O bloqueio tem 5 botoes, numerados de 1 a 5.O bloqueio é programado para reconhecer seis códigos de 4 dígitos diferentes, podendo repetir os algarismos de cada código. Quantos conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis existem?(pág 324)''
'''[[Exemplo 4.3.2 - Solução:''']]
Há 5⁴=625 possíveis códigos com quatro dígitos. Portanto, há C(625,6) conjuntos diferentes de códigos reconhecíveis.
'''Exemplo 4.3.3 (pág 324)'''
...
[[Exemplo 4.3.3 - Solução]]
'''Exemplo 4.3.4'''
''Quantas maneiras existem de escolher uma comissão de cinco pessoas consistindo de três mulheres e dois homens de um grupo de dez mulheres e sete homens?(pág 324)''
'''Solução:''' O número de maneiras de escolher três mulheres é C( 10,3 ) e o numero de maneiras de escolher 10 homens é C(7,2)[[Exemplo 4.Usando a regra do produto para escolher três mulheres e dois homens é C( 10,3 ) x C(7,2) = 2,520.4 - Solução]]
'''Exemplo 4.3.5 '''
''Sendo o conjunto S = {1,2,3,...,19}. Encontre o número de subconjuntos de S com numeros iguais de inteiros pares e impares.(pág 324)''
'''Solução:''' Note que, existem 10 inteiros ímpares e 9 inteiros pares em S[[Exemplo 4. Os subconjuntos a serem contados deve consistir de k inteiros ímpares e k inteiros pares, onde k=1,2,3,...,9. Portanto, pela regra do produto, o número de cada tipo é C(10, k) x C(9,k). Portanto, pela regra da soma, a resposta é C(10, k) x C(9,k) + C(10, k) x C(9,k)5 - Solução]]
'''Exemplo 4.3.6 '''
''b)Em 4 pilhas iguais, sem classificação;''
'''Solução:''' a) Cada pilha deve conter 52/[[Exemplo 4 = 13 cartas. Na sequencia, empilharemos A,em seguida B, depois C, e finalmente D3. Então teremos C(52,13) maneiras de obter a pilha de A, C(39,13) maneiras de obter a pilha de B, C(26,13) maneiras de obter a pilha de C, e C(13,13)=1 maneiras de obter a pilha de D.Portanto pela regra do produto,teremos :C(52,13) x C(39,13) x C(26,13) x C(13,13) = <math>\frac{52!}{13!.29!} .\frac{39!}{13!.26!} .\frac{26!}{13!.13!} .\frac{13!}{13!.0!} = \frac{52!}{(13!)^4} </math> b) Se nas 4 pilhas não houver classificação,então podemos permutar as quatro pilhas em 4! Maneiras. Daí a resposta é a mesma do iten anterior dividido por 4!:<math>\frac{C(52,13).C(39,13).C(26,13).C(13,13)}{4!} = \frac{52!}{(13!)^4.4!}</math>6 - Solução]]
'''Exemplo 4.3.7 '''
''d) tem, pelo menos, um número par na mesma.''
'''Solução:''' a) Há 13 numeros impares; podemos escolher dois em C(13,2) maneiras[[Exemplo 4.Há 12 numeros pares; podemos escolher 3 em C(12,3) maneiras. Usando a regra do produto para encontrar o número de subconjuntos T, temos subconjuntos. b) Os numeros primos em S são 2,3,5,7,11,13,17,19, and 23, então temos C(9,3) maneiras de selecionar 3 desses numeros.Mas também precisa selecionar 2 dos 16 números compostos para fazer T ter tamanho cinco;então C(16,2) maneiras para isso.Portanto pela regra do produto temos C(9,3) x C(16,2)=10.080 subconjuntos possiveis T. c) Há poucos subconjuntos com esta propriedade. Então é melhor neste caso, contar diretamente o conjunto de cinco números cuja soma é inferior a 20:1,2,3,4,5, 1,2,3,4,6, 1,2,3,4,7,1,2,3,4,8, 1,2,3,4,9, 1,3,4,5,6.Assim, existem seis desses subconjuntos possiveis. d) É mais fácil para contar o número total de subconjuntos de tamanho 5, e depois subtrair o número de subconjuntos sem números pares neles:<math>C(25, 5)-C(13,5) = 51,843</math>Solução]]
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.4===
'''Exemplo 4.4.1 '''
''Escreva a expansão de (x+2y)³. (pág 328)''
'''[[Exemplo 4.4.1 - Solução:'''pelo teorema binomial:<math>(x+2y)^3 = \binom{3}{0} x^3(2y)^0+\binom{3}{1} x^2(2y)^1+\binom{3}{2} x^1(2y)^2+\binom{3}{3} x^0(2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3</math>]]
'''Exemplo 4.4.2 '''
''Encontre o coeficiente <math>a^{17}b^{23}</math> na expansão de <math>(3a-7b)^{40}</math>. (pág 328)''
'''[[Exemplo 4.4.2 - Solução:'''Expandindo <math>(3a-7b)^{40}</math> usando o teorema binomial, localizamos o termo com o produto <math>a^{17}b^{23}</math>, e então encontramos o coeficiente:]]
<math>(3a-7b)^{40} = (3a+(-7b))^{40}</math>'''Exemplo 4.4.3 '''
= <math>\cdots + \binom{40}{17} (3a)^{17}(-7b)^{23} + \cdots</math>
= <math>\cdots + \binom{40}{17} 3^{17}(-7)^23a^{17}b^{23} + \cdots</math>
Assim, o coeficiente de <math>a^{17}b^{23}</math> é <math>\binom{40}{17} 3^{17}(-7)^{23}</math>, que também pode ser escrito como <math>\binom{40}{23} 3^{17}(-7)^{23}</math>.
'''Exemplo 4.4.3 '''
''Escreva a expansão de <math>(x^2-\frac{1}{x} )^8</math>. (pág 328)''
'''Solução:'''Usa-se o teorema binomial[[Exemplo 4. Em seguida, várias regras exponenciais para simplificar os termos4. <math>(x^23 -\frac{1}{x} )^8 = \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} (x^2)^i(\frac{-1}{x} )^{8-i}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} \frac{x^{2i}(-1)^{8-i}}{x^{8-i}}</math><math>= \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} x^{3i-8}(-1)^{8-i}</math><math>= x^{-8}-8x^{-5}+28x^{-2}-56x^{1}+70x^{4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math><math>= \frac{1}{x^8} -\frac{8}{x^5} +\frac{28}{x^2} -56x^{1}+70x^{4}-56x^{7}+28x^{10}-8x^{13}+x^{16}</math>Solução]]
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.5===
'''EXEMPLO (E1, page 338)Exemplo 4.5.1 '''Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos: chocolate, geleia, açúcar, manteiga de amendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a padaria tem pelo menos 30 de cada tipo de biscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher:
a) Ao menos 3 ''Uma padaria vende quatro tipos de biscoitos : chocolate, geleia, açúcar, manteiga de chocolate e amendoim. Você pode comprar um saco com 30 biscoitos. Assumindo que a padaria tem pelo menos 6 biscoitos 30 de manteiga cada tipo de amendoimbiscoito, quantos sacos contendo 30 biscoitos você poderia comprar se você deve escolher: (pág 338)''
b''a) Exatamente Ao menos 3 biscoitos de chocolate e exatamente pelo menos 6 biscoitos de manteiga de amendoim
c''b) No máximo 5 Exatamente 3 biscoitos de açúcarchocolate e exatamente 6 biscoitos de manteiga de amendoim
d''c) Pelo menos um dos quatro tipos No máximo 5 biscoitos de biscoitos.açúcar
Solução:''d) Pelo menos um dos quatro tipos de biscoitos.''
'''EXEMPLO (E2, page 339)'''Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED? [[Exemplo 4.5.1 - Solução]]
'''Solução: '''
Na palavra há dois ‘D’, três ‘E’, um ‘C’, um ‘I’ e um ‘V’. Portanto, o número de permutações de DECEIVED é:
<math>\frac{8!}{2!.3!.1!.1!.1!} = \frac{8!}{2!.3!}</math>
'''EXEMPLO (E3, page 339)Exemplo 4.5.2 '''Um frasco contém 30 moedas de 1 centavo, 20 moedas de 5 centavos, 20 moedas de 10 centavos, e 15 moedas de 25 centavos. (As moedas de cada denominação são consideradas idênticas.)
''Quantos anagramas podem ser formados pela palavra DECEIVED? (apág 339) Encontre o número de maneiras de colocar todas as 85 moedas em uma fileira.''
(b) Encontre o número de possíveis ‘punhados’ de 12 moedas[[Exemplo 4.5.2 - Solução]]
'''Solução:'''
(a) A resposta não é 85! uma vez que as moedas não são todos distintos. Pense no problema como um de fazer uma palavra com 30 p's, 20 n's, 20 d's, e 15 q's. Tendo em conta as cartas idênticas, temos
<math>\frac{85!}{30!.20!.20!.15!}</math>
(b) Quando se contar o número de ‘punhados’ de 12 moedas, estamos apenas preocupados com o número de cada denominação escolhida'''Exemplo 4. Por exemplo, poderíamos escolher 9 moedas de 1 centavos, 2 de 5 centavos, e uma de 25 centavos, ou podemos escolher três de cada denominação. Assim, o número de um ‘punhados’ de 12 moedas é igual ao número inteiro não negativo de soluções para a equação:<math>p+n+d+q = 12</math>onde P é o número de moedas de 1 centavo, n é o número de moedas de 5 centavos, d é o número de moedas de 10 centavos, e q é o número de 25 centavos. O número de soluções para esta equação é:<math>C(15,3) = 455</math>'''
'''EXEMPLO Um frasco contém 30 moedas de 1 centavo, 20 moedas de 5 centavos, 20 moedas de 10 centavos, e 15 moedas de 25 centavos. (As moedas de cada denominação são consideradas idênticas.) (E4, page pág 339)'''De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras de “CHEMISTS” em uma fila?
'''Solução:'''(a) Encontre o número de maneiras de colocar todas as 85 moedas em uma fileira.
Existem dois padrões a serem considerados:''(b) Encontre o número de possíveis ‘punhados’ de 12 moedas.''
(a) 7 letras distintas são selecionados (ou seja, apenas um S é selecionado), e[[Exemplo 4.5.3 - Solução]]
(b) os dois S serem selecionados.
No primeiro teste padrão, existem 7! Maneiras de colocar as 7 letras distintas em uma fileira'''Exemplo 4.5.4'''
No segundo padrão, as sete ''De quantas maneiras é possivel colocar 7 das 8 letras selecionadas têm dois S’s, por isso há 7! / 2! Maneiras de colocar essas letras “CHEMISTS” em uma fileira. fila? (pág 339)''
Adicionando os totais obtidos a partir dos dois casos, temos o número total de maneiras de colocar sete dos oito cartas em uma fileira:<math>7!+6[[Exemplo 4.\frac{7!}{2!}</math>5.4 - Solução]]
===Exemplos adicionais relativas a Seção 4.6===
'''EXEMPLO (E1, página 345)Exemplo 4.6.1''' ''Coloque as seguintes permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, na ordem lexicográfica :(pág 345)''
<math>461325, 326145, 516243, 324165, 461235, 324615, 462135</math>
[[Exemplo 4.6.1 - Solução]] '''Solução:Exemplo 4.6.2'''
Procedendo do menor ao maior''Encontre a permutação de 1, as permutações são:2, 3, 4, 5, 6 imediatamente após 263.541 em ordem lexicográfica. (pág 345)''
324165, 324615, 326145, 461235, 461325, 462135, 516243[[Exemplo 4.6.2 - Solução]]
'''EXEMPLO (E2, página 345)'''
Encontre a permutação de 1, 2, 3, 4, 5, 6 imediatamente após 263.541 em ordem lexicográfica.
'''Solução:Exemplo 4.6.3 '''
Os dígitos 5, 4, ''Encontre a permutação de 1 estão em ordem decrescente, por isso precisamos aumentar o dígito seguinte2, 3. Substitui-lo por , 4 e, em seguida5, colocar os dígitos restantes 6 imediatamente antes de 261.345 em ordem crescente, temos 264.1355lexicográfica.(pág 345)''
'''EXEMPLO (E3, página 345)'''Encontre a permutação de 1, 2, 3, [[Exemplo 4, 5, .6 imediatamente antes de 261.345 em ordem lexicográfica.3 - Solução]]
'''Solução:'''
Uma vez que os quatro últimos dígitos, 1345, estão em ordem crescente, a permutação que vem imediatamente antes deste deve ter um “5” na segunda posição e os quatro dígitos após o “5”, em ordem decrescente'''Exemplo 4. Assim, o antecessor de 261.345 é 256.4316.4 '''
'''EXEMPLO (E4, página 345)'''Se as permutações de 1,2,3,4,5,6 forem colocadas em ordem lexicográfica, com 123.456 na posição 1, 123.465 na posição 2, etc., encontrar a permutação na posição 362.(pág 345)''
'''[[Exemplo 4.6.4 - Solução:''']]
Existem 6! = 720 permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6. O primeiro 120 (isto é, as permutações em posições de 1 a 120) começa com um “1”, o segundo 120 (nas posições 121 a 240) começar com “2”, etc. Assim, a primeira permutação começando com “4”, 412,356, é na posição 361. Assim , a próxima permutação, 412.365, vai estar na posição 362.
'''EXEMPLO (E5, página 345)Exemplo 4.6.5 '''Se as permutações de 1,2,3,4,5 forem colocadas em ordem lexicográfica, em que posição estará a permutação 41253?
'''Solução:'Se as permutações de 1,2,3,4,5 forem colocadas em ordem lexicográfica, em que posição estará a permutação 41253? (pág 345)''
Existem [[Exemplo 4! = 24 permutações de 1, 2, 3, 4, 5 que começam com 1; estas permutações estão em posições de 1 a 24. Da mesma forma, as permutações em posições 25 a 48 começam com 2 e as permutações em posições 49 através de 72 começam com 3 . Assim, a primeira permutação começando com 4, 41235, está na posição 73. Por conseguinte 41253 está na posição 746.5 - Solução]]