Difference between revisions of "Exercícios de Dedução Natural"

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==Dedução Natural para a Lógica Proposicional Intuicionista==
 
==Dedução Natural para a Lógica Proposicional Intuicionista==
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=== Derivabilidade de sequentes ===
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====<math>\varphi \land \psi \vdash \psi \land \varphi</math>====
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==Dedução Natural para a Lógica Proposicional Clássica==
 
==Dedução Natural para a Lógica Proposicional Clássica==
  
*''Derivações na forma de árvores rotuladas com fórmulas''
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===Derivabilidade de sequentes===
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==== <math>\vdash (\alpha \to \beta) \lor (\beta \to \alpha)</math>, via raciocínio por absurdo ====
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==== <math>\vdash (\alpha \to \beta) \lor (\beta \to \alpha)</math>, via terceiro excluído ====
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==Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Intuicionista==
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=== Derivabilidade de sequentes ===
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==== <math>(\forall x)(\varphi \to \psi) \vdash (\forall x)\varphi \to (\forall x)\psi</math> ====
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==== <math>(\forall x)Q(x) \vdash (\forall y)Q(y)</math> ====
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: {{#ev:youtube|B7fFRZF_wao|||||start=1244}}
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==== <math>(\forall x_1)(\forall x_2)R(x_1,x_2) \vdash (\forall x_2)(\forall x_1)R(x_1,x_2)</math> ====
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==== <math>(\forall x) \varphi_1 \land \varphi_2 \dashv\vdash (\forall x) \varphi_1 \land (\forall x)\varphi_2</math> ====
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==== <math>(\forall x)A(x), (\exists y)(A(y) \to B(y)), (\forall z)(A(z) \to C(z)) \vdash (\exists w)(B(w) \land C(w))</math> ====
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==== <math>(\exists x)(\varphi_1 \lor \varphi_2) \dashv \vdash (\exists x)\varphi_1 \lor (\exists x)\varphi_2</math> ====
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==== <math>(\exists x)(\forall y) \varphi \vdash (\forall y)(\exists x) \varphi</math> ====
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: {{#ev:youtube|C37Y-1vqRAY|||||start=1701}}
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==== <math>(\forall x)\neg\varphi \vdash \neg(\exists x)\varphi</math> ====
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==Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Clássica==
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=== Derivabilidade de sequentes ===
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==== <math>\neg(\exists x)\neg\varphi \vdash (\forall x)\varphi</math> ====
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: {{#ev:youtube|8V6u6BrqJ-M|||||start=188}}
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==== <math>\vdash (\exists x)(\forall y)(B(y) \lor \neg B(x))</math> ====
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===Derivabilidade de regras===
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====Raciocínio por casos: <math>\Gamma_1, \neg\varphi\vdash\psi; \Gamma_2, \varphi\vdash\psi \, / \, \Gamma_1, \Gamma_2 \vdash \psi</math>====
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: {{#ev:youtube|w-f04Idz-6M|||||end=141&loop=1}}
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====Raciocínio por redução ao absurdo: <math>\Gamma_1, \neg\varphi\vdash\neg\psi; \Gamma_2, \neg\varphi\vdash\psi \, / \, \Gamma_1, \Gamma_2 \vdash \varphi</math>====
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==== <math>(\approx_{sim}) \Gamma \vdash t_1 \approx t_2 / \Gamma \vdash t_2 \approx t_1</math> ====
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: {{#ev:youtube|knltOmL0XEg|||||start=435}}
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==== <math>(\approx_{trn}) \Gamma_1 \vdash t_1 \approx t_2; \Gamma_2 \vdash t_2 \approx t_3/ \Gamma_1,\Gamma_2 \vdash t_1 \approx t_3</math> ====
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: {{#ev:youtube|knltOmL0XEg|||||start=515}}
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==Para reflexão==
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* O que ocorre se ao invés de adicionarmos ao sistema de Dedução Natural para a Lógica Intuicionista a regra<!--
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--><p><math> (\bot \mathrm{E}_{cls}) \; \Gamma, \neg\varphi \vdash \bot\, / \, \Gamma \vdash \varphi </math></p><!--
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--><p>adicionarmos uma regra da forma </p><!--
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--><p><math> \Gamma, \neg(\alpha \# \beta) \vdash \bot\, / \, \Gamma \vdash \alpha \# \beta </math></p><!--
 +
--><p>para algum conectivo binário <math>\#</math> da nossa linguagem? </p>
  
#Terceiro Excluído / ''Tertium Non Datur'': <math>\vdash\varphi\lor\neg\varphi</math>
+
* O que ocorre se ao invés de adicionarmos ao sistema de Dedução Natural para a Lógica Intuicionista a regra <math> (\bot \mathrm{E}_{cls}) </math> adicionarmos a seguinte regra de ''consequentia mirabilis''?</p><!--
</p><!--
+
--><p><math> (\neg_{cls}) \; \Gamma, \neg\alpha \vdash \alpha\, / \, \Gamma \vdash \alpha </math></p><!--
--><p>{{#ev:youtube|kNyjuCFUzC8}}</p><!--
+
--><p>(Será que podemos dizer, neste caso, que se trata de uma regra de introdução ou de eliminação?  E quanta diferença isso faz?)
--><p>''Tarefa:'' Demonstrar a mesma fórmula, invertendo a ordem de aplicação das regras de introdução da disjunção.<!--
 
-->
 
  
#Comutatividade de <math>\land</math>: <math>\varphi \land \psi \vdash \psi \land \varphi</math><!-- --><p>{{#ev:youtube|moh07B8dv2k|||||start=480}}</p>
+
* O que ocorre se ao invés de adicionarmos ao sistema de Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Intuicionista a regra <math> (\bot \mathrm{E}_{cls}) </math> adicionarmos a regra </p><!--
 +
--><p><math> (DNQ) \; \Gamma \vdash (\forall x)\neg\neg\varphi\, / \, \Gamma \vdash \neg\neg(\forall x)\varphi </math></p>
  
 
==Veja também==
 
==Veja também==
  
*[[Dedução Natural]]
+
* [[Dedução Natural]]
*[[Estratégias de demonstração]]
+
* [[Estratégias de demonstração]]
 +
* [[Introdução Computacional à Lógica Matemática]]
  
 
==Links externos==
 
==Links externos==
  
*
+
* [http://pt.wikipedia.org/wiki/Dedu%C3%A7%C3%A3o_natural Dedução natural]
 +
* [http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_dedutivo Sistema dedutivo]

Latest revision as of 11:07, 23 July 2021

Contents

Dedução Natural para a Lógica Proposicional Intuicionista

Derivabilidade de sequentes

Derivabilidade de regras

a partir de + ()

a partir de +

Dedução Natural para a Lógica Proposicional Clássica

Derivabilidade de sequentes

Terceiro Excluído / Tertium Non Datur:

Tarefa: Demonstrar a mesma fórmula, invertendo a ordem de aplicação das regras de introdução da disjunção.

, via raciocínio por absurdo

, via terceiro excluído

Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Intuicionista

Derivabilidade de sequentes

Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Clássica

Derivabilidade de sequentes

Derivabilidade de regras

Raciocínio por casos:

Raciocínio por redução ao absurdo:

Para reflexão

  • O que ocorre se ao invés de adicionarmos ao sistema de Dedução Natural para a Lógica Intuicionista a regra

    adicionarmos uma regra da forma

    para algum conectivo binário da nossa linguagem?

  • O que ocorre se ao invés de adicionarmos ao sistema de Dedução Natural para a Lógica Intuicionista a regra adicionarmos a seguinte regra de consequentia mirabilis?

    (Será que podemos dizer, neste caso, que se trata de uma regra de introdução ou de eliminação? E quanta diferença isso faz?)

  • O que ocorre se ao invés de adicionarmos ao sistema de Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Intuicionista a regra adicionarmos a regra

Veja também

Links externos