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Exercícios de Dedução Natural (view source)
Revision as of 11:07, 23 July 2021
, 11:07, 23 July 2021→Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Clássica
=== Derivabilidade de sequentes ===
====<math>\varphi \land \psi \vdash \psi \land \varphi</math>====
====<math>(\varphi \land \psi) \land \delta \vdash \varphi \land (\psi \land \delta)</math>====
====<math>\varphi \vdash \varphi \land \varphi</math>====
====<math>\alpha \land \beta, \gamma \land \delta \vdash \gamma \land \beta</math>====
====<math>\alpha \to (\beta \to \gamma) \vdash \beta \to (\alpha \to \gamma)</math>====
====<math>\vdash \alpha \to (\beta \to \alpha)</math>====
====<math>\vdash \alpha \to \alpha</math>====
====<math>\alpha \to \beta \vdash \alpha \to (\alpha \to \beta)</math>====
====<math>\alpha \to (\alpha \to \beta) \vdash \alpha \to \beta</math>====
====<math>\gamma \to \alpha, \gamma \to \beta \vdash \gamma \to (\alpha \land \beta)</math>====
====<math>\beta \lor (\alpha \land \beta) \vdash \beta</math>====
====<math>(\alpha \lor \beta) \to \gamma \vdash (\alpha \to \gamma) \land (\beta \to \gamma)</math>====
====<math>\alpha \vdash \neg\neg\alpha</math>====
====<math>\beta \to \alpha, \beta \to \neg\alpha \vdash \neg\beta</math>====
====<math>\alpha, \neg\alpha \vdash \neg\beta</math>====
====<math>\alpha\lor\beta, \neg\alpha\lor\gamma \vdash \beta\lor\gamma</math>====
====<math> \alpha\to\beta \vdash \neg\beta\to\neg\alpha</math>====
====<math>\neg(\alpha \lor \beta) \dashv\vdash \neg\alpha\land\neg\beta</math>====
===Derivabilidade de regras===
==== <math>\mathrm{(DNE)}</math> a partir de <math>\mathrm{DN_{int}}</math> + (<math>\mathrm{\bot E_{cls}}</math>) ====
: {{#ev:youtube|0RiYJ5EinRE|||||start=312}}
==== <math>(\mathrm{\bot E_{cls}})</math> a partir de <math>\mathrm{DN_{int}}</math> + <math>\mathrm{(DNE)}</math> ====
: {{#ev:youtube|0RiYJ5EinRE|||||start=402}}
==== <math>(\mathbb{M})</math> ====
: {{#ev:youtube|jdHxUb2koy8|||||start=99}}
==== <math>(\mathbb{R})</math> ====
: {{#ev:youtube|jdHxUb2koy8|||||start=184}}
==== <math>(\mathbb{T})</math> ====
: {{#ev:youtube|jdHxUb2koy8|||||start=226}}
==Dedução Natural para a Lógica Proposicional Clássica==
===Derivabilidade de sequentes===
<!-- *''Derivações na forma de árvores rotuladas com fórmulas''-->
====Terceiro Excluído / ''Tertium Non Datur'': <math>\vdash\varphi\lor\neg\varphi</math>====
-->''Tarefa:'' Demonstrar a mesma fórmula, invertendo a ordem de aplicação das regras de introdução da disjunção.
==== <math>\neg\neg\alpha \vdash \alpha</math> ====
: {{#ev:youtube|0RiYJ5EinRE|||||start=499}}
==== <math>\neg\beta\to\alpha, \neg\beta\to\neg\alpha \vdash \beta</math> ====
: {{#ev:youtube|0RiYJ5EinRE|||||start=545}}
==== <math>\neg\alpha\to\neg\beta \vdash \beta\to\alpha</math> ====
: {{#ev:youtube|0RiYJ5EinRE|||||start=596}}
==== <math>\vdash (\alpha \to \beta) \lor (\beta \to \alpha)</math>, via raciocínio por absurdo ====
: {{#ev:youtube|9BdeXjhyJWs|||||start=45}}
==== <math>\vdash (\alpha \to \beta) \lor (\beta \to \alpha)</math>, via terceiro excluído ====
: {{#ev:youtube|9BdeXjhyJWs|||||start=413}}
==Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Intuicionista==
=== Derivabilidade de sequentes ===
==== <math>(\forall x)(\varphi \to \psi) \vdash (\forall x)\varphi \to (\forall x)\psi</math> ====
: {{#ev:youtube|B7fFRZF_wao|||||start=1040}}
==== <math>(\forall x)Q(x) \vdash (\forall y)Q(y)</math> ====
: {{#ev:youtube|B7fFRZF_wao|||||start=1244}}
==== <math>(\forall x_1)(\forall x_2)R(x_1,x_2) \vdash (\forall x_2)(\forall x_1)R(x_1,x_2)</math> ====
: {{#ev:youtube|B7fFRZF_wao|||||start=1303}}
==== <math>(\forall x) \varphi_1 \land \varphi_2 \dashv\vdash (\forall x) \varphi_1 \land (\forall x)\varphi_2</math> ====
: {{#ev:youtube|B7fFRZF_wao|||||start=1678}}
==== <math>(\exists x)P(x), (\forall x)(\forall y)(P(x) \to Q(y)) \vdash (\forall y) Q(y)</math> ====
: {{#ev:youtube|C37Y-1vqRAY|||||start=810}}
==== <math>(\forall x)A(x), (\exists y)(A(y) \to B(y)), (\forall z)(A(z) \to C(z)) \vdash (\exists w)(B(w) \land C(w))</math> ====
: {{#ev:youtube|C37Y-1vqRAY|||||start=1152}}
==== <math>(\exists x)(\varphi_1 \lor \varphi_2) \dashv \vdash (\exists x)\varphi_1 \lor (\exists x)\varphi_2</math> ====
: {{#ev:youtube|C37Y-1vqRAY|||||start=1425}}
==== <math>(\exists x)(\forall y) \varphi \vdash (\forall y)(\exists x) \varphi</math> ====
: {{#ev:youtube|C37Y-1vqRAY|||||start=1701}}
==== <math>(\forall x)\neg\varphi \vdash \neg(\exists x)\varphi</math> ====
: {{#ev:youtube|C37Y-1vqRAY|||||start=1910}}
==Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Clássica==
=== Derivabilidade de sequentes ===
==== <math>\neg(\exists x)\neg\varphi \vdash (\forall x)\varphi</math> ====
: {{#ev:youtube|8V6u6BrqJ-M|||||start=188}}
==== <math>\vdash (\exists x)(\forall y)(B(y) \lor \neg B(x))</math> ====
: {{#ev:youtube|8V6u6BrqJ-M|||||start=460}}
===Derivabilidade de regras===
==== Raciocínio por casos: <math>\mathrmGamma_1, \neg\varphi\vdash\psi; \Gamma_2, \varphi\vdash\psi \, / \, \Gamma_1, \Gamma_2 \vdash \psi</math>====: {{(DNE)#ev:youtube|w-f04Idz-6M|||||end=141&loop=1}} ====Raciocínio por redução ao absurdo: </math> a partir de \Gamma_1, \neg\varphi\vdash\neg\psi; \Gamma_2, \neg\varphi\vdash\psi \, / \, \Gamma_1, \Gamma_2 \vdash \varphi</math>\mathrm====: {DN_{int#ev:youtube|w-f04Idz-6M|||||start=149&loop=1}} ==== </math> + (\approx_{sim}) \Gamma \vdash t_1 \approx t_2 / \Gamma \vdash t_2 \approx t_1</math>\mathrm====: {{#ev:youtube|knltOmL0XEg|||||start=435}}==== <math>(\bot E_approx_{cls}trn}) \Gamma_1 \vdash t_1 \approx t_2; \Gamma_2 \vdash t_2 \approx t_3/ \Gamma_1,\Gamma_2 \vdash t_1 \approx t_3</math>) ====<!---->: {{#ev:youtube|0RiYJ5EinREknltOmL0XEg|||||start=312515}} ==Para reflexão== * O que ocorre se ao invés de adicionarmos ao sistema de Dedução Natural para a Lógica Intuicionista a regra<!----><p><math>(\bot \mathrm{\bot E_E}_{cls}})\; \Gamma, \neg\varphi \vdash \bot\, / \, \Gamma \vdash \varphi </math></p><!----><p>adicionarmos uma regra da forma </p><!----><p><math> \Gamma, \neg(\alpha \# \beta) \vdash \bot\, / \, \Gamma \vdash \alpha \# \beta </math></p><!----><p>para algum conectivo binário <math>\#</math> da nossa linguagem? </p> * O que ocorre se ao invés de adicionarmos ao sistema de Dedução Natural para a partir de Lógica Intuicionista a regra <math>(\bot \mathrm{DN_E}_{int}cls}) </math> + adicionarmos a seguinte regra de ''consequentia mirabilis''?</p><!----><p><math>(\mathrmneg_{(DNEcls})}\; \Gamma, \neg\alpha \vdash \alpha\, / \, \Gamma \vdash \alpha </math> ====</p><!----><p>(Será que podemos dizer, neste caso, que se trata de uma regra de introdução ou de eliminação? E quanta diferença isso faz?) * O que ocorre se ao invés de adicionarmos ao sistema de Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Intuicionista a regra <math> (\bot \mathrm{E}_{#ev:youtube|0RiYJ5EinRE|||||start=402}cls}) </math> adicionarmos a regra </p><!----><p><math> (DNQ) \; \Gamma \vdash (\forall x)\neg\neg\varphi\, / \, \Gamma \vdash \neg\neg(\forall x)\varphi </math></p>
==Veja também==
*[[Dedução Natural]]*[[Estratégias de demonstração]]* [[Introdução Computacional à Lógica Matemática]]
==Links externos==
*[http://pt.wikipedia.org/wiki/Dedu%C3%A7%C3%A3o_natural Dedução natural]* [http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_dedutivo Sistema dedutivo]