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== Propriedades de Somatório ==  <math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.  <math> \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] </math> <math> \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] </math> <math> \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) </math> <math> \sum\limits_{n=s}^{t} j = \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j </math> <math> \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>, note que <math> s \leq j \leq t </math> <math> \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},</math> progressão aritmética. <math> \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math> <math> \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 </math> <math> \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j </math> <math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 </math> <math> \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) </math> <math> \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} </math>  ---- == Principais representações ======Soma simples====<math>\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n</math> ====Soma de quadrados====<math>\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2</math> ====Quadrado da soma====<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2</math> ====Soma de produtos====<math>\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n</math> ====Produtos das somas====<math>(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)</math> ---- == Aplicação das Propriedades ==Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório: === Exemplo 1 === Utilize as propriedades de notação de somatório e,possivelmente, mudança de índice para deduzir que<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é uma sequência de números reais.Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''. ==== Resolução ==== <math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math>  Expandindo <math>n</math> vezes: <math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math> <math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math> <math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math> === Exemplo 2 === O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para <math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math>  Para tal, note que <math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math>  Logo, <math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math>  Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmuladesejada. ==== Resolução ==== <math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math>  Pela fórmula da soma telescópica <math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math> === Exemplo 3 === Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA paracalcular <math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math> de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duassoluções lhe parece mais fácil? ==== Resolução ==== <math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math> <math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math> <math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math> <math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math> <math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math> ===Exemplo 4===Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos 16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média. ==== Resolução ====<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math> média aritmética é dada por : <math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math> Pela propriedade da progressão aritmética  <math>\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}</math>  usando a função de calculo da média: <math>\frac{(n-1)n}{2(n-1)} = \frac{n}{2} = 16,1</math> <math>n = 32,2</math> Substituindo <math>n</math> na equação: <math>n-1 = 31,2</math> <math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 517,92</math> <math>\sum_{k=1}^{n} k = 534,52</math> Portanto o termo omitido foi: <math>534,52 - 517,92 = 16,6</math> ===Exemplo 5===Encontre uma fórmula fechada <math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math> onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> .==== Resolução ====<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \sum_{k=1}^{n} kk^2 = \sum_{k=1}^{n} k \sum_{k=1}^{n} k^2</math> Temos:  <pre>Incompleto</pre> ===Exemplo 6===Calcule a soma <math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math> onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math> ==== Resolução ====Separando o somatório: <math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! </math>/ teremos que descobrir o <math>\sum_{k=1}^{n} k!</math>  então <math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math> <math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math> <pre>Incompleto</pre> ===Exemplo 7===Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> podem pertencer a uma mesma progressão aritmética? ==== Resolução ====Assumindo uma PA <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math> os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math>pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)for igual a o termo do meio:  <math>\frac {a+c}{2}= b </math> <math>\sqrt{3}\simeq1,7</math> inserindo os valores na equação:<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}\simeq1,6 </math> <math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}\simeq 1,7 </math> <math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,8 </math>  Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.  ---- == Provas de algumas propriedades =====Multiplicação por constante===<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante. ===== Passo base: s = t =====<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório. ===== Passo indutivo: s < t ===== Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário: <math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)  Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos: <math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.  Aplicando a HI: <math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math>  Expandindo <math>k-s</math> vezes: <math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math>  Colocando <math>C</math> em evidência: <math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math> <math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math>  Portanto: <math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.   === Mudança de índices ===<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math> ===== Passo base: s = t =====<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório. ===== Passo indutivo: s < t ===== Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário: <math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)  Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos: <math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.  Aplicando a HI: <math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math>  Expandindo <math>k-s</math> vezes: <math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math> <math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math> <math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.  Portanto: <math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.---- == Somatórioem Linguagem Funcional == ====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====<pre>defmodule FMC do def somatorio(start \\0, finish, callback)  def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do callback.(start) end  def somatorio(start, finish, callback) do _somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback) end  defp _somatorio([], _), do: 0 defp _somatorio([head | tail], callback) do callback.(head) + _somatorio(tail, callback) endend</pre> ---- ==Referências==<references />----==Autores==<pre>Jaimerson Araújo Francleide Simão</pre>