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Difference between revisions of "Somatório e Produtório"

 
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<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math>
 
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math>
  
média aritmética:
+
média aritmética é dada por :
+
 
 
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math>
 
<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math>
  
média aritmética de <math>n-1 \text{: }\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1} k = 16,1</math>
+
Pela propriedade da progressão aritmética
 +
 
 +
 
 +
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}</math>
 +
 
 +
 
 +
usando a função de calculo da média:
 +
 
 +
<math>\frac{(n-1)n}{2(n-1)} = \frac{n}{2} = 16,1</math>
 +
 
 +
<math>n = 32,2</math>
 +
 
 +
Substituindo <math>n</math> na equação:
 +
 
 +
<math>n-1 = 31,2</math>
 +
 
 +
<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 517,92</math>
 +
 
 +
<math>\sum_{k=1}^{n} k = 534,52</math>
 +
 
 +
Portanto o termo omitido foi:
 +
 
 +
<math>534,52 - 517,92 = 16,6</math>
  
 
===Exemplo 5===
 
===Exemplo 5===
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<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math>
 
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math>
  
onde n N, com n 1. Observe o padrão utilizado para resolver as duas questões anteriores e
+
onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> .
 
==== Resolução ====
 
==== Resolução ====
 +
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \sum_{k=1}^{n} kk^2 = \sum_{k=1}^{n} k \sum_{k=1}^{n} k^2</math>
 +
 +
Temos:
 +
 +
 +
<pre>Incompleto
 +
</pre>
  
 
===Exemplo 6===
 
===Exemplo 6===
Line 156: Line 185:
 
Separando o somatório:
 
Separando o somatório:
  
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k!  </math>
+
<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k!  </math>/
  
Temos:
+
teremos que descobrir o
 
 
<math>\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}</math>
 
 
 
e teremos que descobrir o
 
  
 
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math>  
 
<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math>  
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<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math>
 
<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math>
 +
 +
<pre>Incompleto
 +
</pre>
  
 
===Exemplo 7===
 
===Exemplo 7===
Line 186: Line 214:
 
<math>\frac {a+c}{2}= b </math>
 
<math>\frac {a+c}{2}= b </math>
  
<math>\sqrt{3}=1,732050807568877</math>
+
<math>\sqrt{3}\simeq1,7</math>
 +
 
 +
inserindo os valores na equação:
 +
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}\simeq1,6 </math>
  
 +
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}\simeq 1,7 </math>
  
<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 </math>
+
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,8 </math>
  
<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 </math>
 
  
 
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.
 
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.
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==Referências==
 
==Referências==
 
<references />
 
<references />
 +
----
 +
==Autores==
 +
<pre>Jaimerson Araújo
 +
 +
Francleide Simão
 +
</pre>

Latest revision as of 09:55, 10 December 2015

Propriedades de Somatório

 , onde C é uma constante.

 

 

 

 

 , note que  

  progressão aritmética.

 

 

 

 

 

 



Principais representações

Soma simples

 

Soma de quadrados

 

Quadrado da soma

 

Soma de produtos

 

Produtos das somas

 


Aplicação das Propriedades

Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:

Exemplo 1

Utilize as propriedades de notação de somatório e, possivelmente, mudança de índice para deduzir que   é igual a  , onde   é uma sequência de números reais. Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como soma telescópica.

Resolução

 


Expandindo   vezes:

 

 

 

Exemplo 2

O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para

 


Para tal, note que

 


Logo,

 


Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula desejada.

Resolução

 


Pela fórmula da soma telescópica

 

Exemplo 3

Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para calcular

 

de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas soluções lhe parece mais fácil?

Resolução

 

 

 

 

 

Exemplo 4

Suprimindo um dos elementos do conjunto { }, a média aritmética dos elementos

16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.

Resolução

 

média aritmética é dada por :

 

Pela propriedade da progressão aritmética


 


usando a função de calculo da média:

 

 

Substituindo   na equação:

 

 

 

Portanto o termo omitido foi:

 

Exemplo 5

Encontre uma fórmula fechada

 

onde   .

Resolução

 

Temos:


Incompleto

Exemplo 6

Calcule a soma

 

onde  

Resolução

Separando o somatório:

 /

teremos que descobrir o

 

então

 

 

Incompleto

Exemplo 7

Os números  

podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?

Resolução

Assumindo uma PA  

os termos   pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c) for igual a o termo do meio:

 

 

inserindo os valores na equação:  

 

 


Portanto   não pertencem a mesma progressão aritmética.



Provas de algumas propriedades

Multiplicação por constante

 , onde C é uma constante.

Passo base: s = t

 , pela definição de somatório.

Passo indutivo: s < t

Suponha que para um   arbitrário:

  (Hipótese de indução)


Para  , assumindo o lado esquerdo da equação, temos:

 , pela definição de somatório.


Aplicando a HI:

 


Expandindo   vezes:

 


Colocando   em evidência:

 

 


Portanto:

 , onde C é uma constante,  .


Mudança de índices

 

Passo base: s = t

 , pela definição de somatório.

Passo indutivo: s < t

Suponha que para um   arbitrário:

  (Hipótese de indução)


Para  , assumindo o lado esquerdo da equação, temos:

 , pela definição de somatório.


Aplicando a HI:

 


Expandindo   vezes:

 

 

 , uma vez que existem   termos.


Portanto:

 .


Somatório em Linguagem Funcional

Elixir[1]

defmodule FMC do
  def somatorio(start \\0, finish, callback)

  def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do
    callback.(start)
  end

  def somatorio(start, finish, callback) do
    _somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)
  end

  defp _somatorio([], _), do: 0
  defp _somatorio([head | tail], callback) do
    callback.(head) + _somatorio(tail, callback)
  end
end

Referências

Autores

Jaimerson Araújo

Francleide Simão