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→Multiplicação por constante
====Multiplicação por constante====
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.
===== Passo base: s = t =====
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.
===== Passo indutivo: s < t =====
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:
<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot F(n)</math>, pela definição de somatório.
Aplicando a HI:
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math>
Expandindo <math>k-s</math> vezes:
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math>
Colocando <math>C</math> em evidência:
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math>
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math>
Portanto:
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, \forall t \in N.
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