10
edits
Changes
Jump to navigation
Jump to search
→Aplicação das Propriedades
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math>
=== Exemplo 2 ===
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math>
Para tal, note que
<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math>
Logo,
<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math>
Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula
desejada.
==== Resolução ====
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math>
Pela fórmula da soma telescópica
<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math>
=== Exemplo 3 ===
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para
calcular
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math>
de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas
soluções lhe parece mais fácil?
==== Resolução ====
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math>
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math>
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math>
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math>
<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math>
----
