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Encontre uma fórmula para <math>(1 – -\frac {1}{2^2})</math> (1- \frac {1/3²}{3^2}) (1 – ¼²- \frac{1}{4^2})...(1 – -\frac {1/n²}{n^2})<\math>

<math>(1-\frac {1}{2^2})</2²) math> = <math>\frac {3}{4}</math><math>(1-\frac {1/2² }{2^2}) (1-\frac {1/3²}{3^2})= </math> <math> \frac {3}{4} . \frac {8}{9}</math> =<math> \frac {2}{3}</math><math>(1-\frac{1/2²}{2^2}) (1-\frac{1/3²}{3^2}) (1-\frac{1/4²}{4^2}) = <math>\frac {3}{4} . \frac{8}{9} . \frac{15}{16}</math> =<math> \frac {5}{8}</math><math>(1-\frac{1/2²}{2^2}) (1-\frac{1/3²}{3^2}) (1-\frac{1/4²}{4^2}) (1-\frac{1/5²}{5^2}) = </math><math> \frac {3}{4} . \frac {8}{9} . \frac {15}{16} . \frac {24}{25} =</math> <math>\frac {3}{5}</math>

Seja <math>p(n) : (1-\frac {1/2²}{2^2}) (1-\frac{1/3²}{3^2}) (1-\frac{1/4²}{4^2})...(1-\frac{1}{n^2})</n²) math> =<math>\frac {n+1}{2n}</math>

<math>(1-\frac{1/2²}{2^2}) (1-\frac{1/3²}{3^2}) (1-\frac{1/4²}{4^2})...(1-\frac{1}{k^2}) </k²) math>= <math>\frac {k+1}{2k}</math>Multiplica-se ambos os lados da equação por <math>(1-\frac{1/}{(k+1)²^2}) </math> para obter <math>(1-\frac{1/2²}{2^2}) (1-\frac{1/3²}{3^2}) (1-\frac{1/4²}{4^2}) ...(1-\frac{1/k²}{k^2}) (1-\frac{1/}{(k+1)²^2}) </math> = <math>\frac {k+1}{2k} (1-\frac{1/}{(k+1)²^2})</math>

<math>=\frac {k+1}{2k} (\frac{(k+1)² ^2}- 1/ {(k+1)²^2})</math><math>=\frac {k+1}{2k} . \frac {k(k+2)/}{(k+1)²^2}</math>

<math>(1-\frac{1}{2^2}) (1-\frac{1}{3^2}) (1-\frac{1}{4^2})...(1-\frac{1}{n^2})</math> = <math>\frac {n+1}{2n}</math> é verdadeiro para todo <math>n \ge 2</math>. *Exemplo 4 Use o princípio da indução matemática para provar que <math>2 \mid (n^2-n)</math> para todo <math>n \ge 0</2²math>.Seja <math>p(n) </math> a afirmação <math>2 \mid (n^2-n)</math>.'''Passo base:'''<math>p(0):</math> é verdadeiro, pois <math>2 \mid (0^2-0)</math>, ou <math>2 \mid 0</math>.'''Passo indutivo:'''<math>p(k)\to p(k+1):</math> suponha <math>p(k)</math> verdadeiro para algum inteiro não negativo k, isto é, <math>2 \mid(k^2-k)</math>. Precisamos mostrar que <math>p(k+1)</3²math> é verdadeiro: <math>2 \mid (k+1) ^2 - (k+1)</math>, mas <math>(k+1)^2 -(k+1)= k^2 +2k + 1 – k – 1 = (k^² - k) + 2k</math> .Porém, <math>2 \mid (k^2-k)</math> através de <math>p(k)</math>, e <math>2 \mid 2k</math>, já que <math>2k</math> é par. Portanto , 2 é divisor da diferença, isto é, <math>2 \mid (k+1)^2 - (k+1)</math>.Assim, <math>p(k+1)</math> é verdadeiro. Pelo princípio da indução matemática , <math>2\mid (n^2-n)</math> é verdadeiro para todo <math>n \ge 0</math>.<math> *Exemplo 5Use o princípio da indução matemática para provar que: <math>n^2 - 5n + 3 > 0 </math>, para todo <math>n >=5</math>.Seja p(n) a afirmação <math>n^2 - 5n + 3 > 0</math>. '''Passo base:''' O passo base é <math>p(5)</math>, <math>p(5)</math> afirma que <math>5^2 - 5.5 + 3 > 0</math>, o que é verdade, pois <math>3 > 0</math>. '''Passo indutivo:''' <math>P(k) \to p(k+1)</math>, suponha que <math>k^2 - 5k +3 > 0</math> para algum inteiro <math>k \ge 5</math>. Precisamos mostrar que <math>(k+1)^2 - 5(k+1) + 3 > 0</math> é verdadeiro. Mas <math>(k+1)^2 - 5(k+1) + 3 = k^2 + 2k + 1 - 5k - 5 + 3 = (k^2- 5k + 3) + (2k - 4)</math>.O termo <math>k^2 - 5k + 3</math> é positivo por <math>p(k)</math>, e <math>2k - 4</math> é positivo, pois <math>k</math> é no mínimo <math>5</math>, daí a soma é positiva e <math>p(k+1)</math> é verdadeiro. Portanto, pelo princípio da indução matemática, <math>n^2 - 5n + 3 > 0</math> é verdadeiro para todo <math>n \ge 5</4²math>. *Exemplo 6 A)Escreva um algoritmo recursivo para encontrar a soma dos n primeiros inteiros positivos pares. B) Use a indução matemática para provar que o algoritmo está correto. Solução:  A)Seja evensum(n) a soma dos n primeiros inteiros positivos.O algoritmo recursivo é:  Procedure evensum(n : integer >= 1) If n=1 then evensum(n): = 2 Else evensum(n):= evensum(n-1) +2n B)Seja <math>p(n)</n²math>, evensum(n) (a soma dos n primeiros inteiros positivos pares).‘’’Passo base:’’’ Quando <math>n = 1</math>, a ação then (então) do procedimento toma efeito e atribui evensum(1) = 2, que é a soma do primeiro inteiro par.‘’’Passo indutivo:’’’ Assumimos <math>p(k)</math> verdadeiro para algum <math>k \frac ge 1</math> e devemos mostrar que <math>p(k+1)</math> é também verdadeiro. A proposição <math>p(k)</math> afirma que evensum(k) é a soma dos primeiros <math>k</math> inteiros positivos pares. De acordo com o algoritmo, como <math> k+1</math>, a condição else é usada (com <math>k+1</math> em lugar de<math> n</math>) para obter evensum(k+1) e retorna:  evensum(k+1) = evensum(k) <math>+ 2(k+1)=</math> soma dos primeiros k inteiros pares <math>+ 2(k+1)</math>Que é a soma dos primeiros <math>k+1</math> inteiros pares. Portanto, o passo de indução é seguido. O princípio da indução matemática prova que o algoritmo está correto. *Exemplo 5 Para a sequencia de números Fibonacci <math>f_0 = 0, f_1 = 1, f_2 = 1, f_3 = 2, f_4= 3, f_5 = 5, f_6 = 8</math>, prove que : <math>f_0 + f_2 +f_4 + f_6 +...+ f_{2n} = f_{2n+1} - 1</math> Seja <math>P(n)</math> a afirmação <math>f_0 + f_2 + f_4 + f_6 +...+ f_{2n} = f2_{2n+1} - 1</math> '''Passo base:''' <math>P(0)</math> afirma que <math>f_0 = 0</math> e <math>f_{2*0+1} - 1 = f_1 - 1 = 1 - 1 = 0</math> '''Passo Indutivo:''' <math>P(k) \to P(k+1)</math>, suponha que <math>p(k)</math> é verdadeiro para algum inteiro não negativo <math>k</math> , isto é, <math>f_0 + f_2 + f_4 + f_6 +...+ f_{2k} = f_{2k+1} - 1<math>devemos mostrar que <math>f_0 + f_2 + f_4 + f_6 +...+ f_{2(k+1)} = f_{2(k+1)+1}- 1</math>é verdadeiro, isto é, <math>f_0 + f_2+ f_4 + f_6 + ... + f_{2k+2} = f_{2k+3} - 1</math>: <math>f_0 + f_2+ f_4 + f_6 + ... + f_{2k+2} = (f_0 + f_2 + f_4 + ... + f_{2k}) + f_{2k+2} = (f_{2k+1} - 1) + f_{2k+2} = f_{2k+1} + f_{2k+2} - 1 = f_{2k+3} - 1</math>  Portanto , pelo princípio da indução matemática ,<math>f_0 + f_2 + f_4 + f_6 + ... + f_{2n+1}= f_{2n+1} - 1</math> é verdadeiro para todo <math>n \ge 20</math>. ===Implementações em C++(Exemplos 1, 2, 3 e 4)=== Os códigos aqui inseridos podemos notar que foi uitlizado a biblioteca math.h para utilização da função POW, com a qual calculamos a potência de uma determinada base.