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<math>(1-\frac {1}{2^2}) (1-\frac {1}{3^2})=</math> <math> \frac {3}{4} . \frac {8}{9}</math> =<math> \frac {2}{3}</math>
<math>(1-\frac{1}{2^2}) (1-\frac{1}{3^2}) (1-\frac{1}{4^2}) = </math> <math>\frac {3}{4} . \frac{8}{9} . \frac{15}{16}</math> =<math> \frac {5}{8}</math>
<math>(1-\frac{1}{2^2}) (1-\frac{1}{3^2}) (1-\frac{1}{4^2}) (1-\frac{1}{5^2}) = </math><math> \frac {3}{4} . \frac {8}{9} . \frac {15}{16} . \frac {24}{25} =</math> <math>\frac {3}{5}</math>
'''Passo base:'''
<math>p(2)</math> é verdadeiro. <math>p(2)</math> afirma que (1-1/2²) = <math>\frac {2+1}{2.2}</math>, que é verdade pois, ambos os lados são iguais a <math>\frac {3}{4}</math>.
'''Passo indutivo:'''
<math>p(k) \to p(k+1)</math>: suponha que <math>p(k)</math> é verdadeiro para algum k. portanto;Portanto:
<math>(1-\frac{1}{2^2}) (1-\frac{1}{3^2}) (1-\frac{1}{4^2})...(1-\frac{1}{k^2}) </math>= <math>\frac {k+1}{2k}</math>
Multiplica-se ambos os lados da equação por <math>(1-\frac{1}{(k+1)^2})</math> para obter
<math>(1-\frac{1}{2^2}) (1-\frac{1}{3^2}) (1-\frac{1}{4^2}) ...(1-\frac{1}{k^2}) (1-\frac{1}{(k+1)^2})</math> = <math>\frac {k+1}{2k} (1-\frac{1}{(k+1)^2})</math>
<math>=\frac {k+1}{2k} (\frac{(k+1)^2}- 1 {(k+1)^2})</math>
<math>=\frac {k+1}{2k} .\frac {k(k+2)}{(k+1)^2}</math>
<math>= \frac {k+2}{2(k+1)}</math>
Que é <math>p(k+1)</math>. Portanto, pelo princípio da indução matemática,
<math>(1-\frac{1}{2^2}) (1-\frac{1}{3^2}) (1-\frac{1}{4^2})...(1-\frac{1}{n^2})</math> = <math>\frac {n+1}{2n}</math> é verdadeiro para todo <math>n \ge 2</math>.
Use o princípio da indução matemática para provar que <math>2 \mid (n^2-n)</math> para todo <math>n \ge 0</math>.
Seja <math>p(n)</math> a afirmação <math>2 \mid (n^2-n)</math>.
'''Passo base:'''
<math>p(0):</math> é verdadeiro, pois <math>2 \mid (0^2-0)</math>, ou <math>2 \mid 0</math>.
'''Passo indutivo:'''
<math>p(k)\to p(k+1):</math> suponha <math>p(k)</math> verdadeiro para algum inteiro não negativo k, isto é, <math>2 \mid(k^2-k)</math>. Precisamos mostrar que <math>p(k+1)</math> é verdadeiro:
<math>2 \mid (k+1)^2 - (k+1)</math>, mas <math>(k+1)^2 - (k+1)= k^2 +2k + 1 - k - 1 = (k^2 - k) + 2k</math> .Porém, <math>2 \mid (k^2-k)</math> através de <math>p(k)</math>, e <math>2 \mid 2k</math>, já que <math>2k</math> é par. Portanto , 2 é divisor da diferença, isto é, <math>2 \mid (k+1)^2 - (k+1)</math>.
Assim, <math>p(k+1)</math> é verdadeiro. Pelo princípio da indução matemática , <math>2\mid (n^2-n)</math> é verdadeiro para todo <math>n \ge 0</math>.
