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Seja P(n) a afirmação <math>1+5^2+5^3+...+5n = 5n\frac {5^{n+1 } -1/}{4}</math>

'''Passo base:''' P(0) : <math>1= \frac {5^({0+1)}-1/ }{4}</math>, (perceba que a soma no lado esquerdo de p(0) inicia e termina com o primeiro termo 1, consequentemente é apenas o primeiro termo 1). <math>P(0) </math> é verdadeiro pois ambos os lados são iguais a 1.

<math>P(k)\to P(k+1)</math>: suponha para qualquer k, <math>P(k)</math> é verdadeiro; , isto é, <math>1+5+5^2+5^3+...+ 5k = {5.{k+1 } -1/}{4}</math>

<math>1+5+5^2 +5^3 +...+5.k+1 = \frac {5.^{k+2 } -1/}{4}</math>Para fazer isso, iniciamos com p<math>P(k) <\math> e adicionamos o próximo termo, <math>5.^{k+1}</math>, em ambos os lados, depois mostramos que essa é a afirmação <math>pP(k+1)</math>.

<math>1+5^2+5^3+...+5k = \frac {5.^{k+1 } -1/}{4}</math>

<math>+5.^{k+1 = } 5.^{k+1 }</math>

<math>1+5^2+5^3+...+5k+5k5^{k+1 } = 5k\frac {5^{k+1 } -1 +4.5k5^{k+1 /}}{4}</math>

<math>= \frac {(1+4)5k5^{k+1 } -1 /}{4} </math>

<math>= \frac {5.5k5^{k+1 } -1/}{4}</math>

<math>= 5k\frac {5^{k+2 } -1 /}{4}</math>

Isto é, <math>p(k+1)</math>. Portanto uma afirmação verdadeira p(k, é seguida por outra afirmação verdadeira <math>p(k+1)</math>, por isso <math>p(k).\to p(k+1)</math> é verdadeira. Assim, pelo princípio da indução matemática ,<math> p(n)</math> é verdadeiro para todo <math>n\ge 0</math>.Nota: alternativamenteAlternativamente, a prova de <math>p(k)/cdot \to p(k+1)</math> pode ser escrita dessa forma. Começamos escrevendo o lado esquerdo da equação que é <math>p(k+1)</math>. Então mostramos que pode ser reescrita para dar o lado direito de <math>p(k+1)</math>. Perceba que a suposição que <math>p(k)</math> é verdadeira está sendo usada em substituição do primeiro passo.

<math>+5+5^2+5^3 + ...+ 5k +5.^{k+1 } = \frac {5.^{k+1 } -1 /}{4 } + 5.^{k+1}</math>

<math> = 5k\frac {5^{k+1 } -1 } + 4.5k5^{k+1}{4}</math>

<math>= \frac {(1+4).5k5^{k+1 } -1/}{4}</math>

<math>=\frac {5.5k5^{k+1}-1/}{4}</math>

<math>=5k\frac {5^{k+2}-1/}{4}</math>