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'''Passo base:''' P(0) <math>1= 505^(0+1 ) -1/4</math>, (perceba que a soma no lado esquerdo de p(0) inicia e termina com o primeiro termo 1, consequentemente é apenas o primeiro termo 1). P(0) é verdadeiro pois ambos os lados são iguais a 1.

'''Passo indutivo:''' <math>P(k).P(k+1)</math>: suponha para qualquer k, <math>P(k) </math> é verdadeiro; isto é,

Precisamos mostrar que a próxima afirmação <math>P(k+1)</math>, é verdadeira:

Para fazer isso, iniciamos com p(k) e adicionamos o próximo termo, <math>5.k+1</math>, em ambos os lados, depois mostramos que essa é a afirmação <math>p(k+1)</math>.  <math>1+5^2+5^3+...+5k = 5.k+1 -1/4</math>--------------- <math>+5.k+1 = 5.k+1 </math>-------- 

 Isto é, <math>p(k+1)</math>. Portanto uma afirmação verdadeira p(k, é seguida por outra afirmação verdadeira <math>p(k+1)</math>, por isso <math>p(k).p(k+1)</math> é verdadeira. Assim, pelo princípio da indução matemática , <math> p(n) </math> é verdadeiro para todo <math>n\ge 0</math>.Nota: alternativamente, a prova de <math>p(k)/cdot p(k+1)</math> pode ser escrita dessa forma. Começamos escrevendo o lado esquerdo da equação que é <math>p(k+1)</math>. Então mostramos que pode ser reescrita para dar o lado direito de <math>p(k+1)</math>. Perceba que a suposição que <math>p(k) </math> é verdadeira está sendo usada em substituição do primeiro passo.

<math> = 5k+1 -1 + 4.5k+1</math>  <math>= (1+4).5k+1 -1/4</math>  <math>=5.5k+1-1/4</math>  <math>=5k+2-1/4</math>

<math>/sum limits_limits{k=1}^n (2k+3)$= n(n+4) para todo n/ge1\ge 1</math> Seja <math>p(n)= 5+7+9+...+(2n+3)= n.(n+4)</math> '''Passo base:''' <math>p(1) afirma que <math>2.1+3=1(1+4)</math>, é verdadeiro, já que ambos os lados são iguais a 5. '''Passo indutivo:''' <math>p(k).p(k+1)</math>: suponha que p(k) é verdadeiro, isto é: <math>5+7+9+...+(2k+3 )=k(k+4)</math>Adicionamos <math>(2k+3)</cdotmath> a ambos os lados e simplificamos :   <math>5+7+9+...+(2k+3)+(2k+5) = k.(nk+4)+(2k+5)</math>

  <math>= (k+1)/cdot.(k+5)</math><math>