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'''Passo indutivo:''' <math>P(k).P(k+1)</math>: suponha para qualquer k, P(k) é verdadeiro; isto é,
<math>1+5+5^2+5^3+...+ 5k = 5/cdotk.k+1 -1/div 4</math>
Precisamos mostrar que a próxima afirmação P(k+1), é verdadeira:
<math>1+5+5^2 +5^3 +...+5/cdotk.k+1 = 5/cdotk.k+2 -1/div 4</math>Para fazer isso, iniciamos com p(k) e adicionamos o próximo termo, <math>5/cdotk.k+1</math>, em ambos os lados, depois mostramos que essa é a afirmação p(k+1).<math>1+5^2+5^3+...+5k = 5/cdotk.k+1 -1/div 4</math>---------------<math>+5/cdotk.k+1 = 5/cdotk.k+1 </math>--------<math>1+5^2+5^3+...+5k+5k+1 = 5k+1 -1 +4.5k+1 /div 4</math> <math>= (1+4)5k+1 -1 /div 4</math> <math>= 5/cdot .5k+1 -1/div44</math> <math>= 5k+2 -1 /div 4</math>Isto é, <math>p(k+1)</math>. Portanto uma afirmação verdadeira p(k, é seguida por outra afirmação verdadeira <math>p(k+1)</math>, por isso <math>p(k)/cdotp.p(k+1)</math> é verdadeira. Assim, pelo princípio da indução matemática , p(n) é verdadeiro para todo <math>n/\ge 0</math>.
Nota: alternativamente, a prova de <math>p(k)/cdot p(k+1)</math> pode ser escrita dessa forma. Começamos escrevendo o lado esquerdo da equação que é <math>p(k+1)</math>. Então mostramos que pode ser reescrita para dar o lado direito de <math>p(k+1)</math>. Perceba que a suposição que p(k) é verdadeira está sendo usada em substituição do primeiro passo.
<math>+5+5^2+5^3 + ...+ 5k +5/cdotk.k+1 = 5/cdotk.k+1 -1 /div 4 + 5/cdotk.k+1</math> <math> = 5k+1 -1 + 4/cdot5k.5k+1</math><math>= (1+4) .5k+1 -1/div 4</math><math>=5/cdot .5k+1-1/div 4</math><math>=5k+2-1/div 4</math>
*Exemplo 2